KozenとSmithは，有限集合B，Σの対が自由生成するテスト付クリーニ代数を構成する方法を与えた．われわれは，有限性の仮定をはずし，任意の集合の対B，Σについて，それらが自由生成するテスト付きクリーニ代数の存在を示した．さらに，KozenとSmithが要素を明示することによって構成したテスト付きクリーニ代数が，クリーニ代数や羃等半環，ブール代数に加えて単位クォンテールなどの圏の間の随伴函手や単位クォンテールの直和構成を用いて得られることを明らかにする．