Redes ARTMAP difusas modulares y reconocimiento de caras.

de la Torre Gomora, Miguel Angel

Introduccion

Las redes neuronales artificiales constituyen una herramienta poderosa en el reconocimiento de patrones, sobre todo si se combinan disciplinas como la estadistica y la logica difusa en el diseno de las mismas. Diversos autores utilizan estas tecnicas, inspiradas en la biologia, en aplicaciones biometricas. Tal es el caso del reconocimiento de caras en secuencias de video, o el reconocimiento de caracteres manuscritos (Gorodnichy, 2006; Zhao, 2003; Jain, 2006). En particular, las redes neuronales ARTMAP difusas, como se describe en Carpenter (1992, 1991) y Granger (2007, 2008), han tenido exito en varios campos de la biometria. Particularmente el reconocimiento de caras es un area con gran auge en los ultimos tiempos. Tareas como la vigilancia en un aeropuerto o el procesamiento de imagenes de criminales conocidos en oficinas policiacas, aplican cada vez mas las tecnicas de reconocimiento de patrones como las redes neuronales.

[FIGURA 1 OMITIR]

En la figura 1 se muestra la estructura simplificada de un sistema de reconocimiento de caras, ejemplificando sus etapas principales. El proceso inicia con la captura o recuperacion de la imagen o secuencia de imagenes que contienen la escena en la que se encuentra el individuo por identificar, y que constituyen la entrada al sistema. Una vez establecida la escena, se procede a detectar la posicion de la cara en la imagen, etapa en la que se utilizan algoritmos de seguimiento (tracking), estimacion y compresion. Al establecer el area del objeto por reconocer, es decir la cara, el siguiente paso consiste en identificar aquellas caracteristicas significativas que serviran como entrada al algoritmo de reconocimiento. Cabe mencionar que estas dos ultimas etapas (deteccion de la cara y extraccion de caracteristicas) suelen realizarse simultaneamente por el mismo algoritmo. Por ultimo, la etapa del reconocimiento de cara propiamente dicho, consiste en aplicar tecnicas de reconocimiento de patrones ya sea holisticas, que aprovechen las caracteristicas geometricas de la cara, o metodos hibridos para identificar si la cara detectada esta en una base de datos, o verificar que sea la persona que se esta buscando.

Cuando se disena una estructura de una red neuronal, tipicamente se realizan pruebas sobre datos generados utilizando criterios especificos. Estos datos pueden ser sinteticos, o generados mediante procedimientos bien definidos, o reales. Estos ultimos se producen en ambientes controlados de manera que las caracteristicas sean propias de un analisis basado en caracteristicas especificas. Tanto las pruebas con datos reales como las hechas sobre conjuntos de datos generados sinteticamente constituyen una gran ayuda en la comparacion de resultados con otras estructuras similares.

Experimentos tipicos sobre datos sinteticos son el de un circulo en un cuadro, el cual divide en dos clases los puntos de un plano, los que estan dentro del circulo pertenecen a una clase y los que estan fuera pertenecen a otra. Tambien se utiliza comunmente en la literatura un conjunto de circulos que se traslapan con diferentes areas de interseccion, o conjuntos de funciones que definen clases cada vez mas complejas (Granger, 2007). Al probar los algoritmos sobre datos reales, es comun utilizar bases de datos como las que se describen en Gorodnichy (2005) y Gross (2001), que brindan secuencias de videos de uso extendido en la literatura.

En lo referente a la estructura de los clasificadores mas ampliamente utilizados por la comunidad cientifica dedicada al reconocimiento de patrones, estos son construidos para reconocer un numero grande de clases. En Kapp (2007) las redes neuronales son entrenadas para diferenciar los nombres escritos de los 12 meses del ano en portugues de Brasil. Sin embargo, tambien existen trabajos como que muestran la utilidad de transformar el problema de clasificar N clases en N problemas de clasificar 2 clases. Este enfoque que saca provecho de la consigna "divide y venceras" es el de las redes neuronales modulares (Oh, 2002; y Granger, 2001), con las cuales es posible mejorar en gran medida el desempeno de los algoritmos de reconocimiento de patrones. De esta manera es posible simplificar el problema dividiendolo en tantos subproblemas como clases existan por reconocer. La arquitectura que se describe en el presente reporte aprovecha este enfoque para disenar una estructura de redes neuronales ARTMAP difusas modulares (mFAm).

La estructura de este reporte sigue la secuencia que se aplico en el desarrollo de las investigaciones. En la seccion 2 se describe brevemente una arquitectura simplificada de las redes ARTMAP difusas, asi como el funcionamiento del algoritmo de aprendizaje. En la seccion 3 se comentan algunos trabajos que utilizan la estrategia "divide y venceras" junto con las redes neuronales para resolver algunos problemas, y se describe la arquitectura propuesta para aplicarse en el reconocimiento de caras en secuencias de video. En la seccion 4 se muestran algunos experimentos que apoyan la hipotesis de mejora en los algoritmos. En la seccion 5 se hacen comentarios de los resultados y se propone una guia para el trabajo futuro.

Redes ARTMAP difusas

Las redes neuronales ARTMAP difusas implementan una estructura que proporciona la capacidad de realizar un aprendizaje supervisado e incremental de las diferentes categorias, ademas de brindar mapas de varias dimensiones como respuesta a secuencias arbitrarias de vectores de entrada que pueden ser analogicos o binarios. Esta arquitectura toma las ventajas de la logica difusa, y al mismo tiempo utiliza las bondades de las redes neuronales basadas en la teoria de resonancia adaptativa (Adaptive Resonance Theory, ART) (Carpenter, 1992). Ademas hace a las redes neuronales ARTMAP difusas capaces de reconocer categorias de una manera estable, auto-organizada. Otra gran ventaja del aprendizaje incremental es que las redes no necesitan volver a entrenarse desde el principio solo para agregar un nuevo conjunto de entrenamiento. En diversas aplicaciones se ha hecho uso de las ventajas de las redes ARTMAP, como el reconocimiento de caracteres escritos a mano y la verificacion de firmas (Granger, 2007).

Sin embargo, las redes ARTMAP difusas tienen la desventaja de aprender dificilmente los limites de decision entre distribuciones de clases. Si se entrena la red siguiendo un aprendizaje secuencia) supervisado de un conjunto de datos de entrenamiento, la capacidad para generalizar a partir de patrones de entrada desconocidos esta en funcion de la dinamica interna de la red, lo cual depende a su vez de mecanismos como la eleccion de prototipo y las funciones de prediccion de clases, las reglas de aprendizaje y la representacion de las distintas categorias.

La arquitectura simplificada de una red neuronal ARTMAP difusa con tres capas se muestra en la figura 2. La primera capa recibe los datos correspondientes al patron que se desea reconocer, o con el que se entrena a la red. Las capas [F.sub.1] y [F.sub.2] estan completamente conectadas, es decir, todos los nodos de la capa F l estan conectados a todos los nodos de la capa [F.sub.2]. Un vector W de ponderaciones actua sobre el vector x para producir un vector T de salidas de acuerdo a 2.1.

(2.1) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

En 2.1 la operacion | * | se refiere a la norma, definida [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] por es el operador AND difuso definido (A ^ [W.sub.j]) [equivalente a] min ([A.sub.t][W.sub.ij] por,[alfa] es un parametro de eleccion definido por el usuario.

El vector T juega el papel principal en la eleccion de la(s) clase(s) que mas se acerca(n) al patron de entrada, siendo ampliamente utilizada la estrategia "winner takes all" (el valor mas alto de T es el que se elige). Este tipo de estrategias se utiliza ampliamente en las redes neuronales, ya sean difusas o no.

La caracteristica que diferencia a las redes ARTMAP de otras es la forma de entrenarlas. En la figura 2 se muestra el algoritmo de aprendizaje que siguen las redes neuronales ARTMAP difusas, con las cinco etapas que sigue. Algoritmo de aprendizaje de las redes ARTmAP difusas

[FIGURA 2 OMITIR]

[FIGURA 2 OMITIR]

Las condiciones previas al entrenamiento de una red neuronal ARTMAP difusa definen la capa F, con tantos nodos como dos veces el tamano de las muestras de entrada. Esto debido a que cada patron de entrada duplica su tamano al ser codificado con complemento. Tambien se define la capa [F.sub.2] con cero nodos, y estos iran en incremento conforme se clasifican nuevos patrones. La capa Fab estara definida con tantos nodos como clases de salida se generen en la red neurona]. El algoritmo, ejemplificado con un diagrama de flujo en la figura 3, se detalla a continuacion.

1. Inicializacion. Se inicializan todos los valores de ponderacion [w.sub.ij] a 1, y todos los valores de ponderacion [w.sup.ab]. a 0. Un nodo de la capa [F.sub.2] se activa cuando es seleccionado para codificar un vector a de entrada, y despues es ligado a un nodo [F.sup.ab]. Se inicializan tambien los valores de los parametros para la taza de aprendizaje [beta] [elemento de] [0,1], la eleccion [alfa] > 0, el factor de seguimiento (match tracking) 0 <[elemento de] <<1, y el factor de vigilancia [??] [elemento de] [0,1].

2. Codificacion de patrones de entrada. Al presentarse un par de entrenamiento (a, t), el vector a se transforma mediante una codificacion complemento, lo cual duplica el numero de sus componentes. La entrada codificada se define como A= (a,[a.sup.c]) = ([a.sub.1], [a.sub.2], ..., [a.sub.m]; [a.sup.c.sub.1], [a.sup.c.sub.2], ..., [a.sup.c.sub.m]) donde [a.sup.c.sub.i] = (1 - [a.sub.i])y [a.sub.i], [elemento de] [0,1]. Se reinicia tambien el parametro p a su valor base [rho].

3. Seleccion de prototipos. El patron A activa la capa [F.sub.1] y se propaga a traves de las conexiones ponderadas W a la capa [F.sub.2]. La activacion de cada nodo j en la capa [F.sub.2] esta determinada por la ecuacion 2.1. La capa [F.sub.2] produce un patron de actividad y = ([y.sub.1], [y.sub.2], ..., [y.sub.N],) que obedece a la estrategia de "el ganador toma todo", de modo que solo queda activo el nodo j=J con el valor de activacion mas grande J = argmax {[T.sub.j]. : j = 1, 2, ..., [y.sub.N]}; asi [y.sub.1] =1y [y.sub.j]. [desigual a]= 0, J. En caso de encontrarse mas de un [T.sub.j] maximo, se elige el nodo j con menor indice. El nodo J propaga su vector [W.sub.j] sobre [F.sub.1], y se realiza la prueba de vigilancia que compara el grado de semejanza entre [W.sub.j] y A contra el parametro de vigilancia [rho] [elemento de] [0,1]:

(2.2) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

Si se pasa la prueba J sigue activa y se dice que ocurre la resonancia. En otro caso, la red inhibe el nodo activo de [F.sub.2] (Se hace [T.sub.J]= 0) hasta que se le presenta a la red el siguiente par de entrenamiento (a, t) (figura ZB) y se busca otro nodo J que pase la prueba de vigilancia. En caso de que no exista tal nodo, se crea uno nuevo en la capa F2 y se salta al paso 5 (aprendizaje). La profundidad de busqueda antes de crear un nodo esta determinada por el parametro [alfa].

4. Prediccion de clases. El patron t se alimenta directamente a la capa [F.sup.ab], y el vector y correspondiente a la salida de la capa [F.sub.2] "aprende" la activacion de [F.sup.ab] mediante los pesos [W.sup.ab]. La capa [F.sup.ab] produce un patron de actividad binario [y.sup.ab] = ([y.sup.ab], [y.sup.ab] , ..., [y.sup.ab.sub.L]) = t ^ [W.sup.ab.sub.J] de donde se obtiene la prediccion de clase K = k (J). En caso de que el nodo K sea una prediccion incorrecta, se envia una senal de "match tracking" con el parametro de vigilancia de la forma

(2.3.) [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

De esta manera se busca en la capa [F.sub.2], hasta que se alguno de sus nodos se activa, o algun nodo J arroja la prediccion correcta K.

5. Aprendizaje. El aprendizaje de un patron de entrada (a) incluye la actualizacion del vector de prototipos [w.sub.j] , y si J corresponde a un nuevo nodo, tambien se realiza la creacion de las conexiones asociativas hacia [F.sup.ab]. El vector de prototipos de F2, esto es, el nodo J, se actualiza utilizando

(2.4) [w'.sub.J] = [beta] (A [conjuction] [w.sub.j],) + 1 - 1[beta]) w.sub.j] '

El parametro fijo que controla la velocidad de aprendizaje puede inicializarse para aprendizaje lento (0 < [beta] < 1) o para aprendizaje rapido ([beta] = 1).

El aprendizaje supervisado por lotes es auxiliado con alguna estrategia de aprendizaje, en las que se intenta encontrar los vectores de pesos que ligan las capas [F.sub.1]-[F.sub.2] y [F.sub.2] - [F.sup.ab] (Wy [W.sup.ab] respectivamente), mas adecuados en la prediccion de las clases. Esto es, se inicia un proceso en el que se busca que la mayoria de las clases predichas (k(J)), correspondan a las clases indicadas en el entrenamiento (a, t).

Dos de las estrategias de aprendizaje supervisado por lotes comunmente utilizadas son las de una epoca de entrenamiento, y la utilizada en este trabajo, la validacion "Hold-Out". Al hablar de una epoca de entrenamiento, la red se somete al aprendizaje de todos los patrones de entrenamiento solamente una vez. Este tipo de estrategias que solo entrenan a la red una vez por cada patron de entrenamiento, son utilizadas generalmente solo para referencia. La validacion Hold-Out consiste en detener el entrenamiento despues de cada epoca, y calcular el error de generalizacion para cada subconjunto independiente de entrenamiento llamado conjunto de validacion. Se elige la epoca de entrenamiento en la que el error de generalizacion sea menor, en otras palabras, se minimiza el error de generalizacion para diferentes epocas de entrenamiento. En el caso de contar con un numero limitado de datos de entrenamiento, se puede utilizar la estrategia de validacion cruzada para k-divisiones. Esta variacion de la validacion Hold-Out separa el conjunto de entrenamiento en k divisiones, y utiliza una de ellas como conjunto de validacion, quedando las demas (k-1) para entrenamiento.

Una arquitectura modular para redes ARTMAP difusas

En la seccion anterior se describio el enfoque comunmente utilizado de construccion de una red neuronal con capacidad de reconocer entre un conjunto de clases. De esta manera, se entrena una red neuronal con todo el conjunto de patrones para que el aprendizaje se realice sobre todas las clases, y la red aprende a diferenciar entre las N clases del conjunto. Sin embargo, esto conduce a problemas como la dificultad de encontrar la separacion entre una clase y otra, dificultad que aumenta conforme se incrementa el numero de clases asociadas al clasificador. Con la finalidad de incrementar la certidumbre entre la pertenencia a una clase o a otra, se han disenado arquitecturas modulares como la descrita en Oh (2002). Las arquitecturas de esta naturaleza dividen el problema de identificar la pertenencia de un patron entre un numero N de clases, en N problemas de clasificacion mas simples, en los que solo se clasifica entre dos clases.

La arquitectura modular en la figura 4 muestra los N modulos ARTMAP difusos (modulos rAm) en los que se descompone una red modular como la de la figura 2. De hecho, cada uno de los modulos [FAM.sub.i]. esta formado por una red neuronal completa Fuzzy ARTMAP, la cual se entrena para reconocer solamente una de las clases, y discriminar las otras N-1. En esta arquitectura, los patrones de entrenamiento se reordenan con el fin de especializar al modulo FAM, en aprender solo dos clases. Internamente la [clase,.sub.i] del conjunto de entrenamiento general se convierte en la clase 0 del modulo, y ejemplares de patrones de las demas clases se convierten en la clase 1 para ese mismo modulo. Asimismo, al exponer la red al conjunto de datos de prueba, el modulo Faim, respondera con una prediccion de clase 0 si reconoce el patron como perteneciente a la clase i, y con una prediccion de clase 1 si pertenece a cualquiera de los demas modulos. Asi, los modulos con prediccion 0 "aceptan" al patron de prueba como miembro de su clase, y "rechazan" al patron con prediccion 1.

[FIGURA 4 OMITIR]

El conjunto de patrones de entrenamiento que se utilizarian en una red neuronal difusa con enfoque global o no modular, deben reorganizarse para utilizar el enfoque modular. Con este objetivo, se utilizara una estrategia de reorganizacion de patrones como la descrita en el siguiente algoritmo.

Estrategia de Reorganizacion de Patrones de Entrenamiento para redes modulares FAM

Sea TS el conjunto original de [valor absoluto de TS] 1 patrones de entrenamiento. Cada patron contiene de la forma (a, t), con la misma estructura que se utilizaria en el aprendizaje de N clases por un clasificador, en donde a = ([a.sub.1], [a.sub.2], ..., [a.sub.m]) es el vector de entrada y t = ([t.sub.1], [t.sub.2], ... [t.sub.L]) es el vector que etiqueta al patron a como miembro de una clase particular.

1. El conjunto de TS, entrenamiento para el modulo i se inicializa con todos los patrones de entrenamiento (a, t) [elemento de] TS cuyo vector t etiquete a dicho patron como perteneciente a la clase i.

2. Para cada clase j = i se agrega a TSi una muestra aleatoria de patrones TS. [elemento de] TS, de modo [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] sea la cantidad de elementos de la clase j incluidos en Ts.

3. Se modifican los vectores t de todos los patrones del conjunto [TS.sub.i], de modo que si t = i, t '[flecha siniestra] O, en otro caso t'[flecha siniestra] 1

4. Los pasos 1 a 3 se repiten para cada modulo i= [1..N]. Una vez entrenados cada uno de los modulos del clasificador, se dice que la red modular esta entrenada. En una etapa posterior, al exponer la red modular a un patron de prueba, cada modulo lo evaluara y generara una prediccion de clase y una medida de probabilidad o certidumbre como sucede en cualquier red FAM. De esta manera se obtienen los vectores PC =(([Pci.sub.1] [PC.sub.2], ..., [Pc.sub.N] y CC = ([cc.sub.1], [CC.sub.2], ..., [CC.sub.N])j con las predicciones y certidumbres respectivamente, generadas por cada uno de los modulos. Son estos vectores los que se utilizan para tomar la decision general de prediccion de clase, al mezclar con una funcion de fusion los resultados parciales en una decision final. La funcion de fusion que se evaluan en este reporte, toma la maxima probabilidad entre los modulos como medida de seleccion de clase (ecn. 3.1).

(3.1) [S.sub.1] = argmax (cc)

donde argmax regresa el numero de modulo que arrojo la mayor certidumbre de clase, y cc es el vector de certidumbres. Esta funcion constituye una primera aproximacion basada en los datos directos que arroja cada modulo. Sin embargo es posible disenar funciones de fusion mas sofisticadas que seguramente incrementaran la cantidad de aciertos que tiene la red neuronal rale.

En la siguiente seccion se muestran los resultados experimentales que demuestran una similitud en los resultados utilizando las redes neuronales axTMaP difusas con enfoque global, y con el enfoque modular propuesto en este trabajo.

Resultados

Dos de los conjuntos de datos mas utilizados en la literatura se aplican en las pruebas de una red neuronal FAM con enfoque global, y una red MFAM. El primer conjunto de datos es el circulo en un cuadro que divide en dos clases los puntos en un plano bidimensional. Este corresponde al caso trivial, en el que solo se entrenan dos modulos para reconocer entre dos clases, y se estudia como referencia para mostrar la similitud de resultados. De este modo, para el modulo 0, la clase cero corresponde al conjunto de puntos que se encuentran fuera, y la clase uno corresponde a los puntos dentro del circulo con centro (0.5, 0.5) y radio r=0.398942. Inversamente, para el modulo 1 los patrones externos son los de la clase uno, y los patrones internos corresponden a la clase cero. La ecuacion geometrica del circulo (ecn. 4.1) fue utilizada para generar tanto los datos de prueba como los de entrenamiento.

(4.1) [r.sup.2] = [(x-0.5).sup.2] + [(y-0.5).sup.2]

Una evaluacion visual puede lograrse al observar la figura 4.1, que muestra la clasificacion de todos los puntos del cuadro (negro) con los puntos reconocidos como pertenecientes al interior del circulo (blanco) superpuesto. Similarmente, la figura 4.2 muestra los resultados correspondientes al mismo experimento, obtenidos con la red MFAM. Las clasificaciones arrojadas por el modulo cero constituyen el primer renglon de la figura, las correspondientes al modulo uno, en el segundo renglon, y por ultimo puede verse el resultado de la fusion de las anteriores.

[FIGURA 4.1 OMITIR]

Si bien es claro que no hay una mejora sustancial, si es posible observar que se obtienen resultados comparables. Ambos metodos clasifican aproximadamente las clases para las que fueron entrenadas, y no hay diferencia determinante para establecer que uno es mejor que otro, por lo que se puede argumentar que en este punto se han encontrado soluciones similares o equivalentes.

Desde un enfoque menos cualitativo y mas cuantitativo, la figura 4.3 muestra los errores de clasificacion tanto de la red FA1VI con enfoque global como de la MFAM. Al realizar la comparacion, puede observarse que los resultados arrojados son similares, aunque sigue siendo ligeramente superior la clasificacion del enfoque global. Sin embargo, puede facilmente verse que la desviacion estandar del error de la MFAM es menor y mas estable que su contraparte global. Este hecho hace pensar en la posibilidad de encontrar una funcion de fusion mas sofisticada, que tome en cuenta por ejemplo una normalizacion a la salida de los modulos, o tomar en cuenta ademas de la medida de certidumbre, tambien la prediccion arrojada por cada subred.

Algunas pruebas se realizaron sobre datos reales tomados de secuencias de video sin resultados relevantes, sin embargo se deja abierta la brecha para buscar funciones de fusion cada vez mas sofisticadas que aprovechen las ventajas de la modularizacion.

Conclusiones

La mayoria de los clasificadores utilizados en aplicaciones como las biometricas, en las que es necesario diferenciar entre un amplio numero de clases, utilizan enfoques globales. Clasificadores bastante populares en los ultimos anos son las redes neuronales ARTMAP difusas, que aprovechan conceptos de la logica difusa unidos con la teoria de resonancia adaptativa. En este trabajo se muestra la manera de aplicar una separacion de tareas mediante una modularizacion de las redes neuronales ARTMAP difusas. De este modo se toma ventaja de la estrategia "dividir para vencer", y es un solo clasificador el que se encarga de reconocer una clase y discriminar las demas. Un aspecto importante en el diseno de estas redes MFAM es la eleccion de la funcion de seleccion, que es la que se encarga de decidir finalmente cual es el modulo que decide la clase a la que pertenece el patron de entrada. Una funcion de fusion basada en el maximo es propuesta y utilizada en la experimentacion.

Los resultados experimentales enfatizan la importancia de seleccionar una funcion de fusion adecuada, tomando en cuenta tanto las predicciones arrojadas por los clasificadores o modulos independientes, como sus medidas de probabilidad o certidumbre. Queda pues, como un trabajo pendiente, el diseno de una funcion de fusion adecuada, y la prueba de los algoritmos con esas nuevas funciones sobre datos reales.

[FIGURA 4.2 OMITIR]

[FIGURA 4.3 OMITIR]

(a) y una MFAM (b), sometidas a condiciones similares de aprendizaje y prueba

Fecha de recepcion: 29 de enero de 2009

Fecha de aceptacion: 3 de abril de 2009

Bibliografia

Carpenter, Gail A., Stephen Grossberg, Natalya Markuzon, Jonh H. Reynolds y David B. Rosen (1992), "Fuzzy a,R rimtnh: A Neural Network Architecture for Incremental Supervised Learning of Analog Multidimensional Maps", IEEE Trans. On Neural Networks, pp. 698-713.

Carpenter, Gail A., Stephen Grossberg y David B. Rosen (1991), "Fuzzy aln: Fast Stable Learning and Categorization of Analog Patterns by an Adaptive Resonance System", Neural Networks, pp. 759-771.

Gorodnichy, D. (2005), " NRC-CNRC, Video-Based Framework for Face Recognition in Video", Proceedings of Second Canadian Conference on Computer and Robot Vision.

Gorodnichy, Dmitry O. (2006), "Seeng Faces in Video by Computers, Editorial for Special Issue on Face Processing in Video Sequences", Elsevier.

Granger, Eric, Jean-Francois Connolly y Robert Sabourin (2008), "A Comparison of Fuzzy ARTMAP and Gaussian ARTMAP Neural Networks for Incremental Learning", ETS.

Granger, Eric, Philippe Henniges, Robert Sabourin y Luiz S. Oliveira (2007), "Supervised learning of Fuzzy Axz'MAi> Neural Networks through Particle Swarm Optimization", Journal of Pattern Recognition Research I, pp. 27-60.

Granger, Eric, Mark A. Rubin, Stephen Grossberg y Pierre Lavoie (2001), "A Whatand-Where fusion neural network for recognition and tracking of multiple radar emitters", Elsevier, pp. 325-344.

Gross, Ralph y Jianbo Shi (2001), The cmu Motion of Body (MoBo) Database. Carnegie Mellon University.

Jain, Anil K., Arun Ross y Sharath Pankanti (2006), "Biometrics: A tool for information security", IEEE Transactions on Information Forensics and Security, pp. 125-143.

Kapp, M. N, C.O.A. Freitas y R. Sabourin (2007), "Methodology for de design of NNbased month-word recognizers written on Brazilian bank checks", Image and Vision Computing, pp. 40-49.

Oh, 11-Seok y Ching Y Suen (2002), "A class-modular feedforward neural network for handwriting recognition", Pattern Recognition, pp. 229-244.

Zhao, W, R. Chellappa, P J. Phillips y A. Rosenfeld (2003), "Face Recognition: A Literature Survey", ACM Computing Surveys, pp. 399-458.

Miguel Angel de la Torre Go7nora (1)

(1.) El autor es profesor-investigador de la Universidad de Guadalajara. Cualquier comentario relacionado con este trabajo se recibira en: miguel.delatorre@profesores.valles.udg.mx.