Analysis of the accuracy of measurements based on Doppler effect/ Greicio matavimu Doplerio matuokliais tikslumo analize.

Skeivalas, Jonas

1. Ivadas

Analizuojamas elektroniniu Doplerio matuokliu, pagristu fizikiniu reiskiniu--Doplerio efektu, naudojamu judanciu objektu greiciui matuoti, tikslumas. Tokiu prietaisu, kaip ir bet kuriu kitu elektroniniu ar mechaniniu prietaisu, matavimu rezltatai neisvengiamai tri klaidu. Klaidu analizei taikysime tikimybinu modelu, laikydami, kad veikia tik atsitiktinus klaidos. Sistemingosioms klaidoms analizoti paprastai taikomi algebriniai metodai, isreiskiant sisteminguju klaidu kaip tam tikru kintamuju fukcija. Tam tiksli atliekami specialus matavimai,--matavimu rezltatai palyginami su zinomomis dydziu vertumis ar matotomis didesnio tikslmo prietaisais. Gali buti taikomas ir tikimybinis randomizavimo metodas.

Matavimu Doplerio matokliais tikslmas priklaso pagrindinai no dvieju rusiu parametru--lazerio ar radijo spindliavimo dazniu stabilizavimo ir matavimo bei spindliavimo greiuio atmosferoje nstatymo klaidu. Tai matavimu metodo klaidos. Kitos klaidos atsiranda dul skirtminio (musos) daznio tiesioginiu arba netiesioginiu matavimu.

Doplerio matoklis gali veikti vienoje sistemoje s impulsini-fazini tolimacui, krio galima nustatyti atstmu iki judancio objekto. Tokios kompleksines sistemos matavimu tikslumas yra didesnis (Hofmann-Wellenhof et al. 2001; Skeivalas 2008).

2. Matavimu metodo modelis ir jo tikslumas

Elektromagnetines spindliotes siustuvui ir imtuvui judant vienas kito atzvilgiu, Doplerio daznis [f.sub.d] nustatomas is formules (Baer 1994; Leick 1995; Skeivalas 2004)

[f.sub.d] [f.sub.0] (1 [+ or -] [v.sub.r]/v + [v.sup.2.sub.r]/2[v.sup.2] [+ or -] ...), (1)

cia [f.sub.0]--siunciamos spindliotes daznis, [f.sub.d]--priimtos Doplerio spinduliuotes daznis, [v.sub.r]--radialinis greitis arba siustivo ir imtuvo tarpsavio greiciu skirtumas, v--spinduliotes greitis atmosferoje. Virustiniai zenklai atitinka atstumo tarp siustvo ir imtuvo mazejimu.

Atitinkamu dydziu tikslumo parametru israiskas nustatysime is eilutes (1), neatsizvelgdami i 2-ojo ir aukstesnio laipsnio naris, nes ju itaka yra nykstamai maza. To atvej, kai nustatant judancio objekto greiti elektromagnetine spinduliuote atsispindi no judancio objekto ir grizta atgal i imtuva, formule (1) rasoma

[f.sub.d] = [f.sub.0] (1 [+ or -] 2[v.sub.r]/v). (2)

Is sios formules isreiskiame radialini greiti [v.sub.r] (kai atstumas mazeja):

[v.sub.r] = [DELTA]f/2[f.sub.0] v, (3)

cia [DELTA]f = [f.sub.d] - [f.sub.0] = 2[v.sub.r]/v [f.sub.0] - skirtuminis (musos) daznis.

Radialinio greicio [v.sub.r] standartiniam nuokrypiui [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] skaiciuoti formule gaunama is lygybes (3):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

arba

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (4)

cia [[sigma].sub.[DELTA]f], [[sigma].sub.f0], [[sigma].sub.v]--atitinkami skirtuminio daznio, siunciamos spinduliuotes daznio ir spinduliuotes greicio atmosferoje standartiniai nuokrypiai. Sioje formuleje dydziu [DELTA]f ir [f.sub.0] kovariacija nustatyta pagal israiska (Skeivalas 2007)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (5)

cia K([DELTA]f, [f.sub.0])--dydziu [DELTA]f ir [f.sub.0] kovariacija; M--vidurkio (matematines vilties) simbolis; [delta]([DELTA]f), [delta][f.sub.0]--ati-tinkamu dydziu atsitiktines klaidos. Spinduliuotes daznis [f.sub.0], taikant kvarcinius generatorius, yra zinomas s vidutine santykine klaida [[sigma].sub.f0]/[f.sub.0] = [10.sup.-8], taigi kai [f.sub.0] = 1 GHz, ganame standartini nokrypi [[sigma].sub.f0] = 10Hz.

Kovariacijos reiksme, kai [v.sub.r] = 30 m/s, yra lygi K ([DELTA]f, [f.sub.0]) = 2 * [10.sup.-5] [Hz.sup.2], taigi nedidele.

Skirtminio daznio [DELTA]f standartinio nokrypio [[sigma].sub.[DELTA]f] israiska:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (6)

cia [[sigma].sup'.sub.[DELTA]f]--matavimu metodo standartinis nuokrypis, [[sigma].sup.''.sub.[DELTA]f]--tiesioginio matavimo standartinis nuokrypis.

Dydis [[sigma].sup.'.sub.[DELTA]f] isreiskiamas lygybe

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (7)

Taikydami formule (2) rasome:

[[sigma].sub.fd] = (1 + 2[v.sub.r]/v) [[sigma].sub.f0], (8)

ir tolia--

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (9)

Taigi is formules (7) nustatome

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (10)

ir kai [v.sub.r] = 30 m/s, [[sigma].sub.f0] = 10 Hz, turime [[sigma].sup.'.sub.[DELTA]f] [approximately equal to] 2 * [10.sup.-6] Hz.

Pagal formule (6), taikydami israiska (10), galime parasyti

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (11)

Skirtuminis (musos) daznis [DELTA]f ismatuojamas daznimaciu, kurio vidutini santykini tiksluma laikysime [[sigma].sup.''.sub.[DELTA]f]/[DELTA]f = [10.sup.-8]. Skirtuminio daznio [DELTA]f reiksme, kai radijo spinduliavimo [f.sub.0] daznis Doplerio greicio matuokliuose apie [f.sub.0] = 1 Gz, o [v.sub.r] = 30m/s, yra lygi

[DELTA]f = 2[f.sub.0][v.sub.r]/v [approximately equal to] 200 Hz.

Tada skirtuminio daznio [DELTA]f matavimo standartinis nuokrypis

[[DELTA].sup.".sub.[DELTA]f] = [DELTA]f * [10.sup.-8] = 2 * [10.sup.-6] Hz.

Nagrinesime atmosferos parametru itaka elektromagnetiniu virpesiu greiciui v ir radialiniam greiciui [v.sub.r].

Elektromagnetiniu virpesiu greitis atmosferoje lygus

v = c/n,

cia c = 299 792,458 km/s--virpesiu greitis vakuume, n--virpesiu luzio atmosferoje rodiklis. Kad butu patogiau skaiciuoti, luzio rodiklis n isreiskiamas luzio indeksu N:

n = 1 + [10.sup.-6] N. (12)

Virpesiu greicio v atmosferoje standartinis nuokrypis [[sigma].sub.v] tri tokia israiska:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (13)

nes vidutiniskai n [approximately equal to] 1,000 300, [[sigma].sub.c] = 0,3m/s, [[sigma].sub.N]--virpesiu luzio atmosferoje indekso standartinis nuokrypis.

Radijo bangu luzio indeksas N ir rodiklis n yra atmosferos parametru--temperaturos T, slegio P, dregmes e funkcija -N = N(T, P, e). Toliau galima rasyti:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (14)

Radijo bangu luzio indekso daliniu isvestiniu reiksmes esant vidutinems meteorologinems salygoms (T = 288 K, P = 745 mmHg, e = 12 mmHg) yra lygios:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

Taigi didziausia itaka radijo bangu sklidimui turi oro dregme ir temperatura.

Luzio indekso N priklausomybe no atmosferos parametru isreiskiama Froome ir Essen formle (Skeivalas 2004; [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 2008; [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 2005)

N = a P/T + b e/T + c e/[T.sub.2], (15)

cia a, b, c--dispersijos koeficientai, kuriu empirines reiksmes pateiktos lenteleje; P--atmosferos slegis, mmHg arba mbar, T--atmosferos temperatura K, e--atmosferos dregnumas, mmHg arba mbar. Atmosferos parametru reiksmes nustatomos matavimo taske vidutiniu tikslumu: [[sigma].sub.P] [approximately equal to] 0,1 mmHg, [[sigma].sub.T] [approximately equal to] * 0,1 K, [[sigma].sub.e] [approximately equal to] 0,01 mmHg.

Dispersijos koeficientu reiksmes

Koeficientai P ir e, mmHg P ir e, mbar

a 103,49 77,64
b -17,23 -12,92
c 4,96 * [10.sup.5] 3,72 * [10.sup.5]

Nustatysime virpesiu luzio indekso N ir rodiklio n dispersiju israiskas priklasomai no atmosferos parametru dispersiju. Pagal lygybe (15)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

Toliau gauname

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (16)

Panaudodami vidutines atmosferos parametru reiksmes pagal formule (16) apskaiciuojame [[sigma].sub.N] = 0,16.

Pagal formle (12) [[sigma].sub.n] = [10.sup.-6] [[sigma].sub.N] = 0,16 * [10.sup.-6]. Atmosferos temperatura matodami [[sigma].sub.T] [approximately equal to] 0,01 K tikslumu, gautume [[sigma].sub.n] = [10.sup.-6] * 0,016.

Radijo spinduliavimo greicio v atmosferoje tikslumas, taikant formule (13) ir [[sigma].sub.N] = 0,16, ivertinamas standartiniu nuokrypiu [[sigma].sub.N] = 50 m/s.

Pagal formule (4) atlike skaiciavimus gauname

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

Gautasis rezultatas nustatytas judancio objekto (pvz. automobilio, lektuvo, laivo ar raketos), kurio radialinis greitis [v.sub.r] = 30 m/s, Doplerio imtuvo generatoriaus virpesiu daznis 1 GHz.

3. GPS palydovu radialinio greiuio nstatymas

Aptarsime nagrinujamo metodo taikymu GPS palydovu radialiniam greiciui [v.sub.r] nustatyti ir tikslumui ivertinti pagal GPS imtuvais priimama neslio virpesiu spinduliuote. Kadangi radijo spinduliai sklinda viena kryptimi, is GPS palydovo i GPS imtuva, tai Doplerio daznis [f.sub.d] nustatomas pagal formule

[f.sub.d] = [f.sub.0] (1 [+ or -] [v.sub.r]/v). (17)

GPS palydovo radialinio greicio, nustatyto taikant Doplerio efekta, tikslumas ivertinamas taip:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (18)

Skirtuminio (musos) daznio [DELTA]f matavimu metodo standartinis noukrypis [[sigma].sup.'.sub.[DELTA]f] nustatomas taikant formules (7) ir (17)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] (19)

cia panaudota [v.sub.r] = 0,9km/s--maksimalus GPS palydovu radialinis greitis, [[sigma].sub.f0] = [10.sup.-12] * 1,5 GHz = 1,5 * [10.sup.-3] Hz (del [L.sub.1] neslio kanalo daznio [f.sub.1] [approximately equal to] 1,5GHz).

Skirtuminis (musos) daznis [DELTA]f vidutiniskai yra lygus

[DELTA]f = [v.sub.r]/v [f.sub.0] = 4,5 * [10.sup.3] Hz = 4,5 kHz. (20)

GPS palydovu rubidzio ir cezio virpesiu generatoriu santykinis dazniu stabilumas [[sigma].sub.f0]/[f.sub.0] = [10.sup.-12]. GPS imtuvai signalu priemimo moment (epocha) sinchronizuoja savuju virpesiu generatoriu dazni su priimamu virpesiu dazni ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.], [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 2008).

Skirtuminio daznio [DELTA]f tiesioginio matavimo GPS imtuvuose tikslumas, turint mintyje standartini nuokrypi, [[sigma].sup.".sub.[DELTA]f], rasomas

[[sigma].sup.".sub.[DELTA]f] = [[sigma].sub.f0] = 1,5 * [10.sup.-3] Hz.

Taigi skirtuminio daznio [DELTA]f standartinis nuokrypis [[sigma].sub.[DELTA]f] nustatomas

[[sigma].sup.2.sub.[DELTA]f] = [[sigma].sup.'2.sub.[DELTA]f] + [[sigma].sup."2.sub.[DELTA]f] [approximately equal to] 2,2 * [10.sup.-6] [Hz.sup.2]

ir [[sigma].sub.[DELTA]f] [approximately equal to] 1,5 * [10.sup.-3] Hz.

Pagal formule (18) apskaiciuojame GPS palydovo radialinio greicio nustatymo standartini nuokrypi [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.], naudodami zinomas parametru reiksmes:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.]

Taigi matyti, kad GPS palydovo radialinio greicio nustatymo tiksluma pagrindinai lemia skirtuminio (musos) daznio [DELTA]f bei radijo spinduliavimo greicio v atmosferoje nustatymo klaidos.

4. Isvados

1. Doplerio efektu pagristu matokliu judanciu objektu greiciui matuoti tikslumas priklauso nuo matavimo metodo ir parametru tiesioginiu matavimu klaidu (radijo ar lazerio spinduliavimo dazniu tikslumo, skirtuminio (musos) daznio matavimo klaidu, atmosferos itakos virpesiu sklidimo greiciui klaidu).

2. Nedideliu greiciu judanciu objektu (pvz., automobiliu, lektuvu ar laivu) radialinis greitis nustatomas zymiai didesniu tikslumu (standartinis nuokrypis keliomis eilemis yra mazesnis) nei dideliu greiciu judanciu objektu (pvz., dirbtiniu Zemes palydovu, asteroidu).

3. Siuloma Doplerio prietaisais nustatomo objektu greicio tikslumo invertinimo metoda galima taikyti Doplerio greicio matuokliams kalibruoti.

doi: 10.3846/gc2010.02

Literatura

Baer, M. 1994. Vermessung und Ortung mit Satelliten. Heidelberg: Wichmann. 274 S.

Hofmann-Wellenhof, B.; Lichtenegger, H. and Collins, J. 2001. Global Positioning System. Theory and Practice. Wien, New York: Springer-Verlag. 326 p.

Leick, A. 1995. GPS Satellite Srveying. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley and Sons. 352 p.

Skeivalas, J. 2004. Elektroniniai geodeziniai prietaisai. Vilnius: Technika. 193 p.

Skeivalas, J. 2007. Koreliacine analize jonosferos itakai GPS matavimams nustatyti [Practice of correlation analysis for determination of ionospheric influence on GPS measurements], Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 33(4): 98-101.

Skeivalas, J. 2008. GPS tinklu teorija ir praktika [Theory and practice of GPS networks]. Vilnis: Technika. 288 p.

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.], O. B. 2005. O [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 4: 41-46.

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] A.H.; [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 2008. O [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 1: 3-7.

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 2008. [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII.] 3: 63-68.

Jonas SKEIVALAS. Prof, Doctor Habil. Vilnis Gediminas Technical University. Dept of Geodesy and Cadastre, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnis, Lithania. Ph +370 5 2744 703, Fax +370 5 2744 705, e-mail: jonas.skeivalas@vgt.lt.

Athor of three monographs and more than 150 scientific papers. Participated in many intern conferences and research visits to the Finish Geodetic Institte.

Research interests: processing of measrements with respect to tolerances, adjstment of geodetic networks, global positioning system (GPS).

Geodezijos ir kadastro katedra, Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva El. pastas Jonas.Skeivalas@vgtu.lt