Application of deterministic and geostatistical interpolation methods for Earth surface modeling/Deterministiniu ir geostatistiniu interpoliavimo metodu taikymas zemes pavirsiui modeliuoti.

Nareiko, Viktor ; Ruzgiene, Birute ; Uselis, Adomas 等

1. Ivadas

Skaitmeninis tam tikros teritorijos modelis apima Zemes pavirsiaus ir jame esanciu objektu trimaciu koordinaciu (X, Y ir Z) visuma. Toks modelis ypac svarbus generuojant ortofotografini zemelapi, kai reikalingos ne tik Zemes pavirsiaus, bet ir statiniu ar kitu objektu auksciu koordinates.

Sudarant skaitmeninius zemelapius, kompiuterinemis sistemomis automatiskai kuriamas skaitmeninis zemes pavirsiaus modelis (DEM). Siekiant atvaizduoti Zemes pavirsiaus reljefa, svarbu tureti tanku vietoves tasku tinkla su planimetrinemis koordinatemis ir auksciais. Siam tikslui, remiantis atramos tasku duomenimis, taikomi ivairus interpoliavimo metodai. Kuo daugiau siu tasku, tuo auksciu interpoliavimo rezultatai patikimesni. DEM tinklo tankumas priklauso nuo vietoves reljefo pobudzio (Ruzgiene 2010). Jei vietoves reljefas nera labai ryskus, tasku auksciai gali buti nustatomi, pvz., kas 5-10 metru.

Erdvinis pavirsiaus vaizdas kuriamas remiantis geodeziniu, fotogrametriniu matavimu rezultatais, nuotolinio skenavimo duomenimis (Konecny 2003, Manual 2004). Gauta taskine informacija paskleidziama po visa pavirsiu, interpoliavimo budu pagal zinomus duomenis apskaiciavus tarpines reiksmes.

Sudarytieji skaitmeniniai pavirsiaus modeliai matomi (vizualizuojami) trimateje erdveje, todel jie efektyviai taikomi ivairiose geoinformaciniu sistemu panaudojimo srityse.

Didejant kompiuteriu galimybems, sukuriama vis daugiau programiniu sistemu (pvz., MatchCAD, Ma-thematica, Maple, MATLAB), kurios taikomos ivairiu pavirsiu modeliavimo uzdaviniams spresti. MATLAB programinis paketas--tai lanksti programine aplinka ir programavimo kalba, skirta matematiniams uzdaviniams spresti, algoritmams sudaryti ir tobulinti, duomenims analizuoti ir sukurtiems skaitmeniniams modeliams vizualizuoti (Biran, Breiner 1997).

Erdviniams Zemes pavirsiaus modeliams sudaryti taikomi ivairus algoritmai bei programines sistemos, taciau ne visose programose numatytas patogus duomenu pateikimo ar ivedimo budas bei galimybe analizuoti visus skaitmeniniu modeliu sudarymo etapus. Norint taikyti patikslintus interpoliavimo algoritmus, siuos procesus isisavinti labai svarbu, todel, naudojant MATLAB paketa, sukurta kompiuterine programa (Geo3D), kurioje taikytas pakoreguotas algoritmas, numatytas patogus tarpiniu rezultatu pateikimas bei interpoliavimo uzdaviniu sprendimas pagal geodezinius ar fotogrametrinius duomenis. Siekiant gauti kuo tikslesni konkrecios vietoves erdvini modeli, ivertintas sukurtosios programos patikimumas.

2. Skaitmeninio pavirsiaus modelio sudarymo principai

Sprendziant zemes pavirsiaus modeliavimo uzdavinius, staciakampiu tinklas sudaromas pagal pradiniu duomenu (tasku planimetriniu koordinaciu) didziausiasias ir maziausiasias reiksmes. Skaitmeninio vaizdo matrica (eiluciu ir stulpeliu visuma) susideda is tam tikro dydzio vaizdo elementu, kuriu padetis apibreziama eilutes ir stulpelio sankirta (Foley et al. 2000). Skaitmeninio vaizdo koordinaciu sistemos pradzia--vaizdo matricos kairysis virsutinis kampas. Vaizdo elementu padetis skaitmeninio vaizdo koordinaciu sistemoje gali buti transformuojama i vietoves koordinaciu sistema.

Zemes pavirsiui modeliuoti taikomi deterministiniai ir statistiniai (geostatistiniai) metodai (Kumetaitiene, Zakarevicius 2006). Deterministiniai algoritmai taikomi, kai aukscio reiksme kinta pagal apibrezta kreive. Jei yra zinoma, kad tasku auksciu reiksmes nustatytos su tam tikromis paklaidomis, interpoliuojamas pavirsius gali buti filtruojamas, kad sumazetu atsitiktines paklaidos. Siam tikslui yra taikomos ivairaus tipo ir sudetingumo matematines funkcijos.

Pavirsiai generuojami siais deterministiniais interpoliavimo metodais: polinominiu (tiesiniu, kubiniu ir kt.), spline ir svorinio atstumo nuo zinomo tasko iki in-terpoliuojamojo.

Svorinis interpoliavimas--tai vienas paprasciausiu ir placiausiai taikomu erdvinio interpoliavimo metodu, kuris remiasi ismatuoto dydzio svorio ir atstumo santykiu. Interpoliuojant ieskomo tasko aukstis [[??].sub.0] randamas pagal gretimu ismatuotu tasku auksciu svertini vidurki (Tumas 2006):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (1)

cia [H.sub.i]--i-tasis ismatuotas aukstis, [p.sub.i] = 1/[d.sup.2.sub.i] - i-tojo ismatuoto aukscio svoris, [d.sub.i]--atstumas tarp i-tojo ismatuoto ir ieskomojo auksciu tasku, N--ismatuotu auksciu tasku skaicius.

Tiesine interpoliacija--tai zonine pirmojo laipsnio polinomo interpoliacija, kai jungtys tarp gretimu zonu sutampa su duomenu tasko padetimi. Atliekant tiesini interpoliavima, pagal zinomus taskus sudaromas netaisyklinguju trikampiu tinklas (TIN). Netaisyklinguju trikampiu tinklas sukuriamas laikantis Delaunay taisykles--ne viena trikampio virsune negali buti aplink kita trikampi apibrezto apskritimo viduje (Stankevicius, Zakarevicius 1999). Tiesinis interpoliavimas atliekamas tarp sudaryto tinklo trikampiu virsuniu x ir y asiu kryptimis.

Interpoliavimo tarp tasku ([x.sub.i], [y.sub.i]) ir ([x.sub.i+1], [y.sub.i+1]) galutine formule (Komzsik 2007):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (2)

cia [[??].sub.0]--tasko ([x.sub.0], [y.sub.0]) aukscio reiksme; [H.sub.i], [H.sub.i+1]--tasku ([x.sub.i],[y.sub.i]) ir ([x.sub.i+1], [y.sub.i+1]) ismatuotos auksciu reiksmes; ([x.sub.0], [y.sub.0]) [member of] [([x.sub.i+1], [y.sub.i+1])].

Taikant geostatistinius metodus, keliamas klausimas, ar erdviniu duomenu rinkinys (tam tikra nagrinejamo reiskinio abstrakcija) turi atsitiktine reiksmiu variacija, ar jos neturi. Geostatistinio metodo pavyzdys--Kriging interpoliavimo algoritmas.

Kriging interpoliavimo skiriamasis bruozas--svoriai nustatomi pagal sumodeliuota variograma. Variogra-ma--tai parametrines funkcijos (pusvariacijos) grafikas, taikomas gretimu tasku auksciu koreliacijai (statistinei priklausomybei) nustatyti. Butina sukurti tikslu pus-variacijos matematini modeli. Pusvariacijai modeliuoti taikomos ivairios funkcijos: sferos, eksponentine, tieses, Gauss ir kt. Pagal eksponentine kreive sudaroma vario-grama [gamma](d) (Goovaerts 1997):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (3)

cia [C.sub.0]--atsitiktine pusvariacija, laikoma lygia nuliui, [C.sub.1]--pasirinktoji pusvariacijos reiksme, kuria pasiekus vario-grama nekinta, A--atstumas tarp tasku, kai variograma nekinta (slenkscio nuotolis/ apreptis), d--geometrinis atstumas tarp dvieju tasku.

Radus atstumus tarp zinomu tasku [d.sub.ij] ir atstumus tarp zinomu ir ieskomu tasku [d.sub.i0], galima apskaiciuoti kiekvieno ismatuoto tasko aukscio svori (Goovaerts 1997):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (4)

cia N--ismatuotu tasku auksciu skaicius.

Apskaiciavus ismatuotu tasku aukscio svorius, randamas ieskomo tasko aukstis [H.sub.0]:

[[??].sub.0] = [N.summation over (i)] [H.sub.i][p.sub.i], (5)

cia [H.sub.i]--i-tojo tasko ismatuota aukscio reiksme, [p.sub.i]--i-tojo ismatuoto tasko aukscio svoris.

Taikant Kriging interpoliavimo metoda, atsizvelgiama i duomenu erdvine koreliacija, kuri leidzia apskaiciuoti minimizuota interpoliavimo dispersija ir teikia informacijos apie interpoliavimo tiksluma.

Apskaiciuojama minimizuota interpoliavimo dispersija [[sigma].sup.2] (Goovaerts 1997):

[[sigma].sup.2] = [C.sub.1] - [N.summation over (i)] [p.sub.i][gamma]([d.sub.i0]) + L, (6)

cia L--Lagranzo parametras.

3. Pavirsiaus modeliavimas Geo3D programa

Trimaciams Zemes pavirsiaus modeliams sudaryti, taikant MATLAB programines irangos M koda, sukurta programa, pavadinta Geo3D.

Taikyti sie algoritmai: tiesinis, svorinis, Kriging ir Delaunay. Algoritmuojant pavirsiaus aukscio reiksmes interpoliuotos pagal artimiausius duomenu taskus, t. y. atlikta vietine interpoliacija. Geo3D programa interpo-liuojama siais etapais (Kumetaitiene 2006; Kumetaitiene, Vaitkeviciene 2008):

--nustatomas analizuojamos teritorijos apie interpoliuojama taska dydis;

--randami artimiausi duomenu taskai;

--pasirenkamas matematinis modelis pavirsiaus reiksmei apskaiciuoti pagal turima ribota aplinkiniu tasku skaiciu;

--randama skaitmeninio reljefo modelio pavirsiaus reiksme.

Programoje numatyta galimybe lengvai ivesti pradinius duomenis, keisti sukurtu trimaciu vaizdu parametrus, parinkti sudaromu pavirsiu generavimo zingsni, vaizduoti ismatuotu tasku planine padeti bei reljefa. Trimatis Zemes pavirsius vaizduojamas spalvotai tinkleliu arba seseliniu tonu. Trimati vaizda galima pasukti ir matyti skirtingais kampais.

Ikelus pradine duomenu byla, nurodomas vaizduojamo reljefo horizontaliu laiptas, generuojamo pavirsiaus zingsnis, pasirinktasis Zemes pavirsiaus modelio sudarymo metodas, asiu mastelis, spalvinimo budas (1 pav.).

Pagal Elektrenu centrines dalies geodeziniu matavimu duomenu rinkini (apie 300 tasku) Geo3D programa sukurti erdviniai pavirsiaus modeliai (2 pav.).

[FIGURE 1 OMITTED]

[FIGURE 2 OMITTED]

Zemes pavirsius sumodeliuotas fotogrametriniais metodais (Ruzgiene 2007). Stereoskopiniai matavimai atlikti fotografiniu vaizdu apdorojimo sistema LISA (Vokietija) (Linder 2006). Eksperimentiniam pavirsiaus modeliui sukurti naudotos nuskenuotos (14 Iim skiriamoji geba) Vilniaus dalies analogines 1:6000 mastelio aerofo-tonuotraukos.

Siekiant kuo didesnio reljefo modelio tikslumo, svarbu parinkti optimalu reljefo modelio generavimo zingsni. Jei tinklo tankis labai didelis, pvz., sukuriamas tinklas kas 4 m, tokio modelio generavimas ilgai trunka, taciau, jei auksciu tasku skaicius nepakankamas, reljefo modelis tiksliai neatspindes reljefo pobudzio (Ruzgiene 2010).

Sukurus fotografiniu vaizdu modeli, skaitmenine fotogrametrine sistema LISA stereoskopinio matavimo budu nustatyti pavieniu ryskiu tasku auksciai (apie 250 tasku) bei sukurtas auksciu tinklas i0 m zingsniu (3 pav.).

Geo3D programa atliktas fotogrametriniu budu sukurto auksciu tinklo sutankinimas. Taikytas Kriging in-terpoliavimo metodas. Auksciu tasku tinklas sutankintas 4 m zingsniu. Sukurtuju reljefo modeliu fragmentai pateikti 4 ir 5 paveiksluose.

[FIGURE 3 OMITTED]

[FIGURE 4 OMITTED]

[FIGURE 5 OMITTED]

Geo3D programa gali buti efektyviai panaudota matavimo rezultatams, gautiems kitomis programomis (pvz., LISA ir kt.), vizualizuoti bei trimaciams pavirsiaus modeliams kurti.

4. Erdviniu modeliu vertinimas

Siekiant ivertinti Geo3D programos veikimo patikimuma, sukurti pavirsiaus modeliai WinSurf programa. Atliekant interpoliavima minetomis programomis, ivesti tokie patys parametrai: generavimo zingsnis, spalvinis vaizdavimas, asiu mastelis, kitaip tariant, pavirsius modeliuotas vienodomis salygomis.

Geo3D programa sukurtus pavirsiaus modelius, pagal geodeziniu matavimu duomenis, sudaro interpoliuo-tuju auksciu (atsitiktiniu dydziu) imtis. Apskaiciuotas atsitiktinio dydzio dispersijos ivertis--empirinis standartinio nuokrypio kvadratas. Pagal tuos pacius geodeziniu matavimu duomenis WinSurf programa sudaryti pavirsiaus modeliai, apskaiciuotas ju suinterpoliuotu auksciu imties standartinio nuokrypio kvadratas (1 lentele).

Apskaiciuotas dispersijos ivertis, taikant skirtingus interpoliavimo metodus, yra apie 3 m. Ivercio reiksme priklauso nuo reljefo kitimo dydzio.

Nustacius atsitiktinio dydzio reiksmiu apie vidurki sklaida, ivertinami sudarytuju pavirsiaus modeliu nesutapimai.

Taikant skirtingus interpoliavimo algoritmus apskaiciuoti absoliutieji auksciu reiksmiu kvadratiniu nuokrypiu skirtumai pateikti 2 lenteleje.

Didziausias absoliutusis apskaiciuotu dispersijos iverciu skirtumas--34 cm gautas tiesiniu interpoliavimo metodu. Geo3D ir WinSurf programomis tais paciais interpoliavimo metodais gautu pavirsiu nesutapimo priezastis programose taikyti skirtingi interpoliavimo algoritmai.

5. Isvados

Isanalizavus interpoliavimo metodus, sudaryta programa Geo3D ivairaus dydzio vietoviu erdviniams pavirsiams modeliuoti. Interpoliavimo algoritmai pertvarkyti, patikslinti bei pritaikyti MATLAB paketo vykdomajam kodui.

Sukurus eksperimentinius vietoves pavirsiaus modelius pagal geodezinius ir fotogrametrinio apdorojimo duomenis, nustatyta, kad Geo3D lengvai leidzia analizuoti sudaromojo modelio patikimuma, nagrineti interpoliavimo duomenis, atlikti ju vizualizavima. Atviras programos kodas, patogu ja naudotis ir tikslinga taikyti, siekiant efektyviai pateikti pagrindinius skaitmeniniu pavirsiaus modeliu sudarymo etapus.

Geo3D programa gali buti tankinamas fotogrametriniu budu sukurtas auksciu tinklas, nereikia atlikti tiek daug stereofotogrametriniu matavimu

Ivertinus Geo3D programos patikimuma vietoves reljefo modeliui sudaryti, nustatyta, kad didziausias auksciu duomenu sklaidos skirtumas gautas taikant tiesini (34 cm), o maziausias--Kriging interpoliavimo metoda.

doi: 10.3846/gc.2010.19

Iteikta 2010 03 03; priimta 2010 06 29

Literatura

Biran, A.; Breiner, M. 1997. Matlab for Engineers. Addison-Wesley. 668 p.

Foley, J.; Feiner, S.; Hughes, J. 2000. Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley. 1175 p.

Goovaerts, P. 1997. Geostatic for Natural Resources Evaluation. New York: Oxford University Press. 477 p.

Konecny, G. 2003. Geoinformation: Remote Sensing, Photogrammetry and Geographical Information Systems. London and New York: Taylor and Francis. 248 p. doi:10.4324/9780203469644

Kumetaitiene, A. 2006. Skaitmeninio reljefo modelio sudarymas skirtingais geostatistiniais reljefo modeliavimo metodais, Geografija [Geography] 42(1): 28-32.

Kumetaitiene, A; Vaitkeviciene, J. 2008. Reljefo modeliavimo metodai, taikomi uzstatytu teritoriju topografiniams planams sudaryti, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 34(4): 134-138. doi:10.3846/1392-1541.2008.34.134-138

Kumetaitiene, A.; Zakarevicius, A. 2006. Skaitmeniniu reljefo modeliu tikslumo sasaju su modeliavimo parametrais ir reljefo morfometrinemis savybemis regresine analize, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 32(3): 71-76.

Komzsik, L. 2007. Approximation Techniques for Engineers. CRC Press. 296 p.

Linder, W. 2006. Digital Photogrammetry. A Practical Course. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. 214 p.

Manual of Photogrammetry (Edited by Chris McGlone). 2004. Fifth Edition. American Society for Photogrammetry and Remote Sensing, Maryland, USA. 1151 p.

Ruzgiene, B. 2007. Comparison between digital photogrammetric systems, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 33(3): 75-79.

Ruzgiene, B. 2010. Skaitmeninio reljefo modelio kurimo metodai ir tikslumo tyrimas, taikant skaitmenines fotograme-trijos technologija, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 36(2): 57-62. doi:10.3846/gc.2010.09

Stankevicius, Z.; Zakarevicius, A. 1999. Netolygiuju atsitiktiniu deformaciju sumazinimas transformuojant fragmentiskai, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 25(3): 123-127.

Tumas, R. 2006. Aplinkos geoinformacijos sistemos. Enciklopedija. Vilnius. 263 p.

Viktor Nareiko (1), Birute Ruzgiene (2), Adomas Uselis (3)

(1,2) Geodezijos ir kadastro katedra, Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva

(2) Geodezijos katedra, Klaipedos valstybine kolegija, Bijunu g. 10, LT-91223 Klaipeda, Lietuva

(3) Pastatu energetikos katedra, Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva

El. pastas: (1) vnareiko.lt@gmail.com; (2) Birute.Ruzgiene@vgtu.lt; (3) adomas.uselis@gmail.com

Viktor NAREIKO. Master student. Vilnius Gediminas Technical University, Dept of Geodesy and Cadastre, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania (Ph +370 60718 344).

Research interests: GIS, 3D modeling.

Birute RUZGIENE. Associate Professor, Doctor. Vilnius Gediminas Technical University, Dept of Geodesy and Cadastre, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania (Ph +370 5 2744 703, Fax +370 5 2744 705).

Doctor (Vilnius Gediminas Technical University, 1999). Research training at Moscow Institute of Geodesy, Aerosurveying and Cartography, at Norway AO Fjellanger Wideree, at Warsaw Institute of Geodesy and Cartography, at Photogrammetry Institute of Bonn University. Author of teaching book and more than 30 scientific papers.

Research interests: digital photogrammetric mapping, image interpretation, features extraction from remote sensing data.

Adomas USELIS. PhD student. Vilnius Gediminas Technical University, Dept of Building Energetics, Sauletekio al. 11, LT10223 Vilnius, Lithuania (Ph +370 5 2744 719).

Research interests: GIS, 3D building modeling.

Table 1. The estimated dispersion of height data interpolated by
Geo3D and WinSurf programs

Interpoliavimo    Dispersijos ivertis [[sigma].sub.h] m
metodai           Geo3D   WinSurf

Tiesinis          3,235    3,269
Svorinis          3,188    3,208
Kriging           3,214    3,213

Table 2. Absoliute ddiscrepancies between the estimated dispersion
persion of height data interpolated by Geo3D and WinSurf programs

Interpoliavimo             Absoliutusis dispersijos
    metodai       iverciu skirtumas [DELTA][[sigma].sub.h], m

   Tiesinis                          0,034
   Svorinis                          0,020
    Kriging                          0,001