Analysis of the zonal waves of tide generating potential caused by celestial bodies/ Dangaus kunu lemiamo potvynio potencialo zoniniu bangu analize.

Petroskevicius, Petras ; Popovas, Darius

1. Ivadas

Geodeziniai matavimai atliekami Zemes sunkio lauke, kuris yra nevienalytis ir kintamas. Visa tai svarbu ivertinti atliekant tiksliuosius geodezinius matavimus (Makinen et al. 2006; Ihde et al. 2006; Torge 1989; Bursa, Kostelecky 1999; Hatanaka et al. 2001) Viena is pagrindiniu priezasciu, del kurios keiciasi ne tik sunkio laukas, bet ir Zemes forma, yra dangaus kunu poveikis (Bursa, Kostelecky 1999; Petroskevicius 2004). Didziausias yra Zemei artimiausiu dangaus kunu--Menulio ir Saules poveikis.

Didejant geodeziniu matavimu tikslumui (Jensch 2006; Mathews et al. 1997), atsirandant nauju geodeziniu prietaisu ir matavimo metodu (Hirt 2003; Skeivalas, Krikstaponis 2001; Zakarevicius, Puziene 2010), svarbu siekti dangaus kunu poveikio ivertinimo tikslumo. Sie klausimai aktualus ne tik atliekant geodezinius matavimus ir tyrimus, bet ir geodinaminius, geofizinius tyrimus (Zakarevicius et al. 2008).

Nustatant dangaus kunu poveiki geodeziniams matavimams, svarbu Zemes tamprumo ivertinimas, kuris siejamas su potvynio bangu dazniu. Maziau patikimai ivertinamas potvynio potencialo zoniniu bangu poveikis (Agnew 2007). Tai lemia skirtingas Zemes sunkio lauko ekvipotencialiniu pavirsiu ir Zemes pavirsiaus interpretacijas (Makinen et al. 2006; McCarthy, Petit 2004), todel aktualu issamesnis zoniniu bangu tyrimas.

Straipsnyje pateikiami potvynio potencialo zoniniu bangu tyrimo rezultatai.

2. Potvynio potencialo bangos

Absoliuciai tvirtos Zemes potvynio potenciala galima isreiksti formule (Petroskevicius, Popovas 2010):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (1)

cia G--gravitacijos konstanta; m--dangaus kuno mase; R--Zemes pavirsiaus tasko geocentrinis atstumas; r--geocentrinis nuotolis iki dangaus kuno; [PHI]--punkto geocentrine platuma; [delta]--dangaus kuno deklinacija; t--dangaus kuno valandinis kampas vietos dienovidinio atzvilgiu; [P.sub.n] (sin [PHI]) ir [P.sub.n] (sin [delta])--Lezandro daugianariai; [P.sup.k.sub.n] (sin[PHI]) ir [P.sup.k.sub.n] (sin[delta])--prijungtines Lezandro funkcijos:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (2)

[P.sup.0.sub.n] (x) = [P.sub.n] (X). (3)

Isnagrinesime pirmuju triju potencialo nariu, kurie turi didesni poveiki Zemes sunkio laukui, itaka (Petroskevicius, Popovas 2008; Torge 1989).

Kai n = 2, gauname:

[V.sub.T2] = [GmR.sup.2]/[4r.sup.3] [(3 [sin.sup.2] [delta]-1)(3 [sin.sup.2] [PHI]-1) +

sin2[delta]sin2[PHI]cost +

[cos.sup.2] [delta] [cos.sup.2] [PHI] cos2t]. (4)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (5)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (6)

(4-6) lygybiu pirmieji nariai nepriklauso nuo dangaus kuno valandinio kampo ir yra ilgo periodo bangos, priklausancios nuo vietos platumos ir dangaus kuno deklinacijos. Tai zonines bangos. Kitu n bangu periodas keiciasi nuo paros iki paros n dalies. Tai teseralines ir sektorines bangos.

3. Zoniniu bangu poveikis

Isnagrinesime pasirinktos potvynio potencialo dalies zoniniu bangu poveiki. Jas galime isreiksti formule:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (7)

Potvynio potenciale galima isskirti nuolatine zoniniu bangu dali, priklausancia tik nuo platumos:

[V.sub.Tz[PHI]] = - [GmR.sup.2]/[4r.sup.3](3 [sin.sup.2] [PHI] - 1) + [3GmR.sup.4]/[64r.sup.5](35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (8)

Nuolatini zoniniu bangu poveiki sunkiui galima nustatyti pagal formule

[delta][g.sup.T.sub.z[PHI]] = GmR/[2r.sup.3] (3 [sin.sup.2] [PHI]-1) - [3GmR.sup.3]/[16r.sup.5] (35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (9)

Analogiskai galima rasyti formule, isreiskiancia nuolatine nuo platumos priklausancia ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija:

[[zeta].sup.T.sub.z[PHI] = - [GmR.sup.2]/[4gr.sup.3](3 [sin.sup.2] [PHI] - 1) + [3GmR.sup.4]/[64gr.sup.5](35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (10)

Kita zoniniu bangu dalis priklauso ne tik nuo platumos, bet ir nuo dangaus kuno deklinacijos. Jos poveikiui ivertinti rasime vidutines integralines [delta] funkciju reiksmes. Tam tikslui taikysime deklinacijos rysio su dangaus kuno ilguma orbitoje [lambda] bei orbitos posvyriu i pusiauja [epsilon] formule: sin [delta] = sin [epsilon] sin [lambda].

Ivertindami, kad dangaus kuno ilguma keiciasi nuo 0 iki 2[pi], gausime tokias funkciju nuo [delta] vidutines integralines reiksmes:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (11)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (12)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (13)

Taikant gautas vidutines reiksmes, potvynio potencialo zonine dalis, priklausanti nuo deklinacijos, gali buti isreiksta sia formule:

[V.sub.Tz[delta]] = [3GmR.sup.2]/[8r.sup.3] [sin.sup.2] [epsilon](3 [sin.sup.2] [PHI] - 1) + [15GmR.sup.4]/[64r.sup.5](7/8 [sin.sup.4] [epsilon] - sin [epsilon]) x (35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (14)

Atitinkamas poveikis sunkiui ir ekvipotencialiniam pavirsiui gali buti isreikstas formulemis:

[[delta]g.sup.T.sub.z[delta] = 3GmR/[4r.sup.3] [sin.sup.2] [epsilon](1 - 3 [sin.sup.2] [PHI]) +

[15GmR.sup.3]/[16r.sup.5](sin [epsilon] - 7/8 [sin.sup.4] [epsilon]) x

(35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3), (15)

[[zeta].sup.T.sub.z[delta]] = [3GmR.sup.2]/[8gr.sup.3] [sin.sup.2] [epsilon](3 [sin.sup.2] [PHI] - 1) +

[15GmR.sup.4]/[64gr.sup.5](7/8 [sin.sup.4] [epsilon] - sin [epsilon]) x

(35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (16)

Taikant gautas vidutines reiksmes, potvynio potencialo zonine dalis gali buti isreiksta siomis formulemis:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (17)

[V.sub.Tzv] = [GmR.sup.2]/[4r.sup.3](3/2 [sin.sup.2] [epsilon] - 1)(3 [sin.sup.2] [PHI]-1) +

[3GmR.sup.4]/[64r.sup.5] (35/8 [sin.sup.4] [epsilon] - 5 sin [epsilon] + 1) x

(35 [sin.sup.4] [PHI] - 30 [sin.sup.2] [PHI] + 3). (18)

Poveikis sunkiui ir ekvipotencialiniam pavirsiui gali buti isreikstas:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (19)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (20)

4. Realios Zemes deformacijos

Realios Zemes potencialo papildomi pakitimai atsiranda del potvyniu lemiamos Zemes deformacijos ir pavirsiaus poslinkio geocentrinio spindulio kryptimi. Sie pakitimai isreiskiami Love skaiciais (Varga 1989), todel galime rasyti:

[delta][g.sub.zv] = [[delta].sub.n] [delta][g.sup.T.sub.zv], [[delta].sub.n] = 1 + 2/n [h.sub.n] - (n+1)/n [k.sub.n], (21)

cia [k.sub.n] ir [h.sub.n]--Love skaiciai, priklausantys nuo Zemes tamprumo.

Atitinkamai del realios Zemes ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos gauname:

[[zeta].sub.zv] = [[gamma].sub.n] [[zeta].sup.T.sub.zv], [[gamma].sub.n] = 1 + [k.sub.n] - [h.sub.n]. (22)

5. Zoniniu bangu itakos sunkiui ir ekvipotencialiniam pavirsiui ivertinimas

Pagal parasytus algoritmus ivertinsime Menulio ir Saules zoniniu bangu poveiki realios Zemes sunkiui ir ekvipo- tencialiniam pavirsiui. Taikysime sias Love skaiciu reiksmes:

[h.sub.2] = 0,6053, [h.sub.3] = 0,2890, [h.sub.4] = 0,1758, [k.sub.2] = 0,2993, [k.sub.3] = 0,0925, [k.sub.4] = 0,0417 (Varga 1989).

Menulio, Saules ir Zemes parametru reiksmes, taikytos atliekant tyrimus:

[Gm.sub.M] = 4902,799 00 [m.sup.3] [s.sup.-2], [r.sub.M] = 356 400 km,

[Gm.sub.S] = 132 712 440 018 [m.sup.3] [s.sup.-2], [r.sub.S] = 147 098 074 km,

R = 6363,893 00 km, g = 981 507 mGal.

[[epsilon].sub.S] = 23[degrees]26';[[epsilon].sub.M] = 23[degrees]26' [+ or -] 5[degrees]09'.

Nuolatines zoniniu bangu dalies poveikis sunkiui priklausomai nuo platumos, taikant maksimalu atstuma iki dangaus kuno, gautas pagal (9, 21) formules ir parodytas 1 paveiksle.

Atlikus tyrimus akivaizdu, kad pagal (9, 21) formules nustatyta nuolatine sunkio kaita del Menulio poveikio yra nuo 53,62 [micro]Gal poliuose iki -26,82 [micro]Gal pusiaujyje, del Saules--nuo 27,76 [micro]Gal poliuose iki -13,88 [micro]Gal pusiaujyje. Visuminis abieju dangaus kunu poveikis sukelia nuolatine tik nuo platumos priklausancia sunkio kaita nuo 81,38 [micro]Gal poliuose iki -40,70 [micro]Gal pusiaujyje. Nuo pietines Lietuvos dalies iki siaurines nuolatine sunkio kaita del abieju dangaus kunu poveikio--nuo 38,99 [micro]Gal iki 44,09 [micro]Gal. Atkreiptinas demesys, kad (9) formules antrojo nario (n = 4) kitimo diapazonas nuo asigaliu iki pusiaujo yra 0,024 [micro]Gal del Menulio poveikio; del Saules poveikio deformacijos nevirsija 5x[10.sup.-8] [micro]Gal. (9) formules antrojo nario (n = 4) kitimo del Menulio poveikio pobudis parodytas 2 paveiksle.

Norint isskirti pastoviaja deformacijos dali ekvipo-tencialiniam pavirsiui galima taikyti (10, 22) formules. Ekvipotencialinio pavirsiaus nuolatine deformacija parodyta 3 paveiksle.

Tyrimai rodo, kad del nuolatines deformacijos poveikio Zemes sunkio lauko ekvipotencialinio pavirsiaus paplokstumas padideja. Poliuose ekvipotencialinis pavirsius pazemeja 0,1583 m, pusiaujyje pakyla 0,0792 m.

Lietuvos pietineje dalyje ekvipotencialinis pavirsius pa-zemeja 0,0759 m, o siaurineje salies dalyje pazemeja 0,0858 m. (10) formules antrojo nario (n = 4) kitimo diapazonas nuo asigalio iki pusiaujo yra 0,04 mm del Menulio poveikio. Saules poveikis nezymus ir nevirsija 5x[10.sup.-8] mm.

[FIGURE 1 OMITTED]

[FIGURE 2 OMITTED]

Dangaus kunu poveikis sunkiui, isreikstas zoninemis bangomis, ivertinant vidutines dangaus kunu deklinaciju reiksmes, kai atstumas iki dangaus kuno didziausias ir kai maziausias (19, 21), parodytas 4 paveiksle. Rezultatai rodo, kad zoniniu bangu lemiamas sunkio pokytis del dangaus kunu itakos yra nuo 62,08 [micro]Gal poliuose iki -10,57 [micro]Gal pusiaujyje, kai geocentrinis atstumas iki dangaus kunu didziausias. Sunkio pokytis del dangaus kunu poveikio, kai geocentrinis atstumas iki Menulio ir Saules maziausias,--nuo 84,24 [micro]Gal poliuose iki -42,08 [micro]Gal pusiaujyje. Geocentrinio atstumo iki dangaus kunu pokyciai lemia sunkio pokycius zonineje potencialo dalyje, ju diapazonas 29,85 [micro]Gal del Menulio poveikio ir 3,35 [micro]Gal--del Saules.

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija del zoniniu bangu poveikio, kai atstumas iki dangaus kuno didziausias ir kai maziausias (20, 22), parodyta 5 paveiksle.

[FIGURE 3 OMITTED]

[FIGURE 4 OMITTED]

[FIGURE 5 OMITTED]

Atlike skaiciavimus gauname, kad poliuose ekvipotencialinis pavirsius pazemeja 0,1208 m, pusiaujyje pakyla 0,0604 m, kai geocentrinis atstumas iki dangaus kunu yra didziausias. Ekvipotencialinis pavirsius del dangaus kunu poveikio, kai geocentrinis atstumas iki Menulio ir Saules yra maziausias, poliuose pazemeja 0,1640 m, pusiaujyje pakyla 0,0745 m. Geocentrinio atstumo iki dangaus kunu pokyciai lemia ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijas, kuriu kitimo diapazonas 0,0581 m del Menulio poveikio ir 0,0065 m--del Saules.

6. Isvados

1. Isnagrinetos dangaus kuno lemiamo potvynio potencialo triju pirmuju nariu zonines bangos, priklausancios nuo punkto platumos ir dangaus kuno deklinacijos. Nustatytas zoniniu bangu poveikis sunkiui ir sunkio lauko ekvipotencialiniam pavirsiui. Isskirta nuolatine zoniniu bangu dalis, priklausanti tik nuo punkto platumos. Nustatytas zoniniu bangu ilgo periodo dalies vidutinis integralinis poveikis.

2. Atsizvelgiant i Zemes tampruma ivertintas nuolatinis Menulio ir Saules zoniniu bangu poveikis, keiciantis platumai nuo 0[degrees] iki 90[degrees]. Visuminis nuolatinis dangaus kunu poveikis sunkiui--nuo 81,38 [micro]Gal poliuose iki -40,70 [micro]Gal pusiaujyje. Nuo pietines Lietuvos dalies iki siaurines sunkis kinta nuo 38,99 [micro]Gal iki 44,09 [micro]Gal. Poliuose ekvipotencialinis pavirsius pazemeja 0,1583 m, o pusiaujyje pakyla 0,0792 m. Lietuvos pietineje dalyje ekvipotencialinis pavirsius pazemeja 0,0759 m, o siaurineje salies dalyje--0,0858 m.

3. Potvynio potencialo treciojo nario (n = 4) nuolatines zonines bangos poveikis sunkiui nevirsija 0,024 [micro]Gal ir ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijai-0,0002 m.

4. Ivertintas potvynio potencialo zoniniu bangu poveikis pasirenkant ilgo periodo dalies vidutine reiksme. Del sio poveikio sunkis kinta nuo 84,24 [micro]Gal poliuose iki -42,08 [micro]Gal pusiaujyje, o ekvipotencialinis pavirsius deformuojasi nuo -0,1640 m iki 0,0745 m.

5. Dangaus kunu geocentrinio atstumo pokyciai gali tureti itakos sunkio pokyciams, ju diapazonas 29,85 uGal del Menulio poveikio ir 3,35 uGal -del Saules, ekvipotencialinio pavirsius deformaciju kitimo diapazonas 0,0581 m del Menulio poveikio ir 0,0065 m--del Saules.

6. Darbo rezultatais gali buti remiamasi vertinant potvynio potencialo zoniniu bangu poveiki geodeziniams matavimams ir pasirenkant skirtingas ekvipotencialinio pavirsiaus ir Zemes pavirsiaus interpretacijas.

doi: 10.3846/gc.2010.21

Literatura

Agnew, D. C. 2007. Earth tides, in Treatise on Geophysics: Geodesy, ed. T. A. Herring, 163-195.

Bursa, M.; Kostelecky, J. 1999. Space Geodesy and Space Geody-namics. Prague. 459 p.

Hatanaka, Y.; Sengoku, A.; Sato, T., et al. 2001. Detection of tidal loading signals from GPS permanant array of GSI Japan, Journal of the Geodetic Society of Japan 47: 187-192.

Hirt, H. 2003. The Digital zenith kamera TZK2-D-A modern high-precizion geodetic instrument for automantic geographic positioning in real-time, Astronomical Data Analysis Software and Systems XII ASP Conference Series 295: 156-159.

Ihde, J.; Baker, T. F.; Bruyninx, C., et al. 2006. Status of the European Combined Geodetic Network (ECGN), Mitteilungen des Bundesamtes fur Kartographie und Geodasie. Band 38. EUREF publication 15: 198-204. ISSN-1436-3445.

Jensch, G. 2006. Proceedings of the 15th International symposium on Earth Tides, Journal of Geodynamics 41: 1-4. doi:10.1016/j.jog.2005.10.005

Mathews, P. M.; Dehant, V.; Gipson, J. M. 1997. Tidal station dispalcements, Journal of Geophysical Research 102(20): 469-477.

Makinen, J.; Lilje, M.; Agren, J., et al. 2006. Regional Adjustment of Precise Levellings around the Baltic, Mitteilungen des Bundesamtes fur Kartographie und Geodasie. Band 38. EUREF publication 15: 171-183. ISSN-1436-3445.

McCarthy, D. D.; Petit, G. 2004. IERS Conventions (2003) IERS Technical Note 32. Frankfurt am Main: Verlag des Bundesamtes fur Kartographie und Geodasie. 86 p.

Petroskevicius, P. 2004. Gravitacijos lauko poveikis geodeziniams matavimams. Vilnius: Technika. 290 p. Petroskevicius, P.; Popovas, D. 2008. Dangaus kunu poveikio sunkio laukui ivertinimas, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 34(1): 19-22. doi:10.3846/1392-1541.2008.34.19-22

Petroskevicius, P.; Popovas, D. 2010. Potvynio potencialo itakos sunkio lauko ekvipotencialiniam pavirsiui vertinimas, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 36(3): 91-96. doi:10.3846/gc.2010.15

Skeivalas, J.; Krikstaponis, B. 2001. Normaliniu auksciu nustatymo tikslumo analize, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 27(3): 101-103.

Torge, W 1989. Gravimetry. Berlin, New York: de Gruyter. 465 p.

Varga, P. 1989. Love numbers and the inner structure of the Earth, in The 6th Inter Symposium Geodesy and Physics of the Earth, Proc Part 1. Veroff ZIPE, 102: 376-396.

Zakarevicius, A.; Puziene, R. 2010. Ismatuotu auksciu redukavimas ivertinant vertikaliuosius Zemes pavirsiaus judesius, Geodezija ir kartografija [Geodesy and Cartography] 36(2): 50-56. doi:10.3846/gc.2010.08

Zakarevicius, A.; Parseliunas, E.; Sliaupa, S.; Stanionis, A.; Stephenson, R. 2008. Horizontal deformations of the Earth's crust in the Baltic region from GPS data, in The 7th International Conference "Environmental Engineering': Selected papers, vol. 3. Ed. by D. Cygas, K. D. Froehner. May 22-23, 2008, Vilnius, Lithuania. Vilnius: Technika, 1503-1507.

Author of 1 monograph and more than 120 scientific publications. Participated in many intern conferences.

Research interests: determination of Earth satellites orbits, research of Earth gravity field by means of satellite geodesy and gravimetric methods, establishment of geodetic and gravimetric networks.

Petras Petroskevicius (1), Darius Popovas (2)

Geodezijos ir kadastro katedra, Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva El. pastas: (1) petras.petroskevicius@.vgtu.lt; (2) gkk@vgtu.lt

Iteikta 2010 09 02; priimta 2010 09 29

Petras Petroskevicius. Prof., Doctor Habil. Vilnius Gediminas Technical University. Dept of Geodesy and Cadastre, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania. Ph+370 5 274 4703, Fax +370 5 274 4705, e-mail: petras.petroskevicius@.vgtu.lt

Darius Popovas. PhD student at the Dept of Geodesy and Cadastre. Vilnius Gediminas Technical University, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania. Ph+370 5 274 4703, Fax +370 5 274 4705, e-mail: gkk@vgtu.lt

A graduate from Aalborg University (Master of Science, 2001).

Research interests: GNSS; Earth gravity field.