Technologies for calculating geodetic coordinates applying h-geometry functions/ Geodeziniu koordinaciu perskaiciavimo technologijos, taikant h-geometrijos funkcijas.

Zanevicius, Donaldas ; Kersys, Faustas

1. Ivadas

Kosmines navigacijos uzdaviniuose pereinant nuo vienos koordinaciu sistemos prie kitos daznai tenka perskaiciuoti koordinaciu dydzius. Tipiski uzdaviniai:

1. Perskaiciuoti turimas geodezines koordinates B, L, H i geocentrines staciakampes koordinates X, Y, Z.

2. Perskaiciuoti turimas geocentrines staciakampes koordinates X, Y, Z i geodezines koordinates B, L, H.

Priminsime, kaip tai daroma dabar, kai matematinio modelio pagrindas yra klasikines geometrijos funkcijos sin ir cos.

1 uzdavinys

Matematiniai modeliai, taikant klasikines geometrijos funkcijas sin ir cos, yra gerai zinomi (Skeivalas 2004):

X = (N + H) x cos(B) x cos(L), (1)

Y = (N + H) x cos(B) x sin(L), (2)

Z = [(1 - [e.sup.2]) x N + H] x sin(B). (3)

Kampai B, kaip ir kampai L, H, duodami laipsniais (Bo), minutemis (Bm) ir sekundemis (Bs), todel is pradziu kampu dydzius reikia isreiksti laipsniais ir ju desimtainemis dalimis:

Boms = (Bo x 60 + Bm) x 60 + Bs, (4)

Bod = Bom/3600. (5)

Tada kampo dydi reikia perskaiciuoti radianais:

B = [pi]/180 x Bod. (6)

Zinome, funkcijos sin ir cos neturi analitiniu israisku ir gali buti apskaiciuotos tik isskleistos begalinemis eilutemis:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (7)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (8)

Formulese (1-3) N reiksme nustatoma taip:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (9)

[e.sup.2] = [a.sup.2] - [b.sup.2]/[a.sup.2], (10)

a, b ir H skaitines reiksmes yra duodamos.

Imkime pavyzdi. Duota:

a = 6 378 137,

b = 6 356 752,

H = 92, 477,

B = 55[degrees] x 19' x 6,735 61",

L = 21[degrees] x 49' x 56,293 20",

arba radianais:

B = 0,965 490 62,

L = 0,381 045 58.

Taikydami formules (1-10) gausime (skaiciuota programa Mathcad):

X = 3,376 643 447 x [10.sup.6], (11)

Y = 1,352 769 851 x [10.sup.6], (12)

Z = 5,221 718 353 x [10.sup.6]. (13)

2 uzdavinys

Matematinis modelis elipsoidinems koordinatems skaiciuoti (Skeivalas 2004; Zanevicius 2008, 2010):

p = [square root of [X.sup.2] + [Y.sup.2]] = (N + H) x cos(B), (14)

H = p/cos(B) - N, (15)

Z = [(1- [e.sup.2]) x N + H] x sin(B), (16)

tan(B) = Z/p x [(1 - [e.sup.2] x N/N + H).sup.-1], (17)

tan(L) = Y/X. (18)

Norint apskaiciuoti elipsoidini auksti H(15) reikia zinoti geodezine platuma B ir, atvirksciai, skaiciuojant geodezine platuma B(17) reikia zinoti elipsoidini auksti H.

Siems skaiciavimams taikomas iteracinis metodas.

Is pradziu skaiciuojama apytiksle geodezines platumos reiksme Bo:

Bo = arctg[Z/p x [(1 = [e.sup.2]).sup.-1]]. (19)

Funkcija arctg taip pat gali buti apskaiciuota tik isskleista begaline eilute

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (20)

arba

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (21)

Toliau gaunama No reiksme:

No = a/[square root of 1 - [e.sup.2] x [(sin(Bo)).sup.2]] (22)

ir elipsoidinis aukstis

Ho = p/cos(Bo) - No. (23)

Tolesneje iteracijoje tikslinama geodezines platumos reiksme:

B = arctg[Z/p x [(1 - [e.sup.2] x No/No + Ho).sup.-1]], (24)

nustatomos naujos N ir H reiksmes.

Iteracijose skaiciavimai tesiami tol, kol paskutiniu iteraciju rezultatai atitinka reikiama tiksluma.

2. h-geometrija

Palydovines navigacijos uzdavinius tikslinga spresti taikant h-geometrijos funkcijas sph ir cph, nes supaprasteja skaiciavimo technologijos, o skaiciavimo rezultatai gaunami tie patys.

Palydovines navigacijos kompiuteriniu programu visuma sudaro didziule skaiciavimo technologiniu problemu sistema. Kaip ir kituose kosmines mechanikos uzdaviniuose, itin aktuali kompiuterinio skaiciavimo trukmes mazinimo problema. Skaiciavimu pagrinda sudaro sferines trigonometrijos matematiniai modeliai, kuriuose pagrindines funkcijos yra sin ir cos. Kaip zinome, sios funkcijos neturi analitiniu israisku ir gali buti apskaiciuotos tik isskleistos begalinemis eilutemis (7), (8).

Knygose (Zanevicius 2008, 2010) pateikta h-geometrijos ideja ir neosinusu (sph ir cph) apibrezimas, daug praktiniu uzdaviniu sprendimu taikant sph ir cph modelius:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII],

h - kampo dydis matuojamas h parametrais, cia

0 [less than or equal to] h [less than or equal to] 1 .

Nuo kampo ([alpha]) sistemos prie aukstines (h) sistemos, arba atvirksciai, pereinama sprendziant sasajos formules:

h = tan([alpha])/1 + tan([alpha]),

[alpha] = arctg(h/1 - h).

3. Koordinaciu perskaiciavimas, kai matematiniu modeliu pagrindas--h-geometrijos funkcijos sph ir cph

Pereje prie h-geometrijos funkciju, pagrindines lygtis (1-3) galesime rasyti:

X = (N + H) x cph B x cph L, (25)

Y = (N + H) - cph B x sphL, (26)

Z = [(1 - [e.sup.2]) x N + H] x sph B, (27)

cia funkcijos sph ir cph apibreziamos (Zanevicius 2008):

sph B = hB/[square root of [hB.sup.2] + [(1 - hB).sup.2], (28)

cph B = 1 - hB/[square root of [hB.sup.2] + [(1 - hB).sup.2], (29)

sph L = hL/[square root of [hL.sup.2] + [(1 - hL).sup.2], (30)

cph L = 1 - hL/[square root of [hL.sup.2] + [(1 - hL).sup.2], (31)

bei

N = a/[square root of 1 - [e.sup.2]/1 + [(1/hB - 1).sup.2] (32)

[e.sup.2] = [a.sup.2] - [b.sup.2]/[a.sup.2]. (33)

Kad skaiciavimo rezultatus galima butu sulyginti ir pagal viena, ir pagal kita parametru sistema, taikysime formules, kurios nustato rysi tarp siu sistemu parametru:

hB = tan(B)/1 + tan(B), (34)

hL = tan(L)/1 + tan (L). (35)

1 uzdavinys

Duota:

a = 6 378 137,

b = 6 356 752,

H = 92,477

ir

B = 0,965 490 62,

L = 0,381 045 582.

Pagal (34) ir (35) gausime

hB = 0,591 032 52, (36)

hL = 0,286 033 33. (37)

Is (25-33):

X = 3,376 643 446 x [10.sup.6], (38)

Y = 1,352 769 849 x [10.sup.6], (39)

Z = 5,221 718 354 x [10.sup.6]. (40)

Palygine (11-13) su (38-40) matome, kad skaiciavimo rezultatai visai sutampa, nors skaiciavimo technologija, taikant h- geometrijos matematinius modelius, supaprasteja (trumpeja kompiuterinio skaiciavimo trukme).

2 uzdavinys

Priklausomybes (25), (26) pakelkime kvadratu ir sudekime. Ivertindami tai, kad

[(sph L).sup.2] + [(cph L).sup.2] [much less than] = 1, (41)

gauname

[X.sup.2] + [Y.sup.2] = [(N + H).sup.2] x [(cph B).sup.2]. (42)

Pazymekime

[X.sup.2] + [Y.sup.2] = kh, (43)

hB = x. (44)

Vietoje (42) galime rasyti

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (45)

Lygti (45) spresime skaitiniu budu, taikydami specialia Mathcad funkcija root. Ivertindami tai, kad

kh = 1,323 x [10.sup.13], (46)

gausime:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (47)

Kaip matome is (47), (44),

hB = 0,591. (48)

Tai atitinka pradini hB dydi (36). Taigi lygties (45) sprendimas yra teisingas.

Palyginti su 2 uzdavinio sprendimu taikant klasikines geometrijos funkcijas sin ir cos (14-24), kai butinos daugkartines iteracijos, sprendimas taikant h-geo-metrines funkcijas sph ir cph (47) yra daug paprastesnis ir trunka zymiai trumpiau. Tai ypac aktualu kitoje kosmines mechanikos srityje--raketu pakilimo ir nusileidimo trajektoriju (kosmines balistikos) skaiciavimuose. Kitu kosmines mechanikos uzdaviniu sprendimus, taikant h-geometrijos funkcijas sph ir cph, galima rasti D. Zaneviciaus knygoje (2010).

4. Isvados

Atsisakius klasikines geometrijos funkciju sin ir cos, kurios neturi analitiniu israisku ir gali buti apskaiciuotos tik isskleistos begaline eilute, ir perejus prie h-geometri-jos funkciju sph ir cph, kurios turi analitines israiskas, geodeziniu koordinaciu perskaiciavimo modeliai supaprasteja (pasparteja kompiuterinis skaiciavimas).

doi: 10.3846/gc.2010.26

Literatura

Skeivalas, J. 2004. Elektroniniai geodeziniai prietaisai. Vilnius: Technika. 193 p.

Zanevicius, D. 2008. h-GEOMETRY Neo-sines in mechanics. Vilnius: Count Line. 221 p.

Zanevicius, D. 2010. h-GEOMETRY Neo-sines in space mechanics. Vilnius: RDI Grupe (spaudoje).

Donaldas Zanevicius (1), Faustas Kersys (2)

Kosminiu technologiju studiju centras, Sermuksniu g. 3, LT-35113 Panevezys, Lietuva El. pastas: (1) dzanevicius@yahoo.com; (2) faustas@baltgina.lt

Iteikta 2010 06 30; priimta 2010 09 24

Donaldas ZANEVICIUS. Space Technology Research Center. Sermuksniu g. 3, LT-35113 Panevezys, Lithuania. Tel.+370 6 875 6501, e-mail: dzanevicius@yahoo.com.

Doctor of Science. The author of four books and more 40 scientific papers.

Research interests: space mechanics.

Faustas KERSYS. Space Technology Research Center. Sermuksniu g. 3, LT-35113 Panevezys, Lithuania. Tel. +370 6 983 0979, e-mail: faustas@baltgina.lt.

Research interests: space mechanics.