Valuation of the impact of celestial bodies on the equipotential surface of the Earth's gravity field/Potvynio potencialo itakos sunkio lauko ekvipotencialiniam pavirsiui vertinimas.

Petroskevicius, Petras ; Popovas, Darius

1. Ivadas

Atliekant tiksliuosius geodezinius, gravimetrinius bei geodezinius astronominius matavimus (Ihde et al. 2006; Makinen et al. 2006; Agnew 2007; Hirth et al. 2010; Sirvydiene et al. 2009; Skeivalas 2008) svarbu ivertinti dangaus kunu poveiki, del kurio, kintant Zemes sunkio laukui, keiciasi ir matavimu rezultatai. Sie klausimai svarbus ir atliekant geodinaminius tyrimus (Zakarevicius et al. 2008, 2008a, 2009). Atsizvelgiant i nudienos minetu matavimu tiksluma, reikia ivertinti artimesniu dangaus kunu--Menulio ir Saules poveiki (Torge 1989; Bursa, Kostelecky 1999). Norint tiksliai ivertinti siu dangaus kunu poveiki bei spresti aktualius matavimu rezultatu redukavimo klausimus, svarbu ivertinti ir detaliai istirti dangaus kunu itakos pobudi. Dangaus kuno poveiki apibrezia potvynio potencialas, todel aktualu nuodugniai istirti jo itaka sunkio lauko ekvipotencialiniams pavirsiams. Ekvipotencialiniai pavirsiai svarbu atliekant geodezinius matavimus. Vienas is siu pavirsiu--geoidas reiksmingas Zemes formos teorijoje bei geodezijoje taikomose auksciu sistemose. Darbo tikslas ivertinti dangaus kunu sukuriamo potvynio potencialo itaka sunkio lauko ekvipotencialiniam pavirsiui.

2. Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija

Dangaus kuno poveikis absoliuciai tvirtai Zemei daznai aprasomas potvynio potencialo [V.sub.T] sferiniu funkciju eilute (Petroskevicius 2004):

[V.sub.T] = Gm/r [[infinity].summation over (n=2)][(R/r).sup.n] [P.sub.n](cos z), (1)

cia G--gravitacijos konstanta; m--dangaus kuno mase; R--Zemes pavirsiaus tasko geocentrinis atstumas; r--geocentrinis atstumas iki dangaus kuno; z--dangaus kuno geocentrinis zenitinis nuotolis; [P.sub.n](cos z)--Lezandro daugianariai atkarpoje [-1; 1] (KopH [GAMMA]., KopH T. 1970):

[P.sub.n](x) = 1/[2.sup.n]n![d.sup.n]/d[x.sup.n][[([x.sup.2] --1).sup.n]], [P.sub.0](x) = 1, (2)

(n + 1)[P.sub.n+1](x) --(2n + 1)x[P.sub.n](x) + n[P.sub.n-1](x) = 0. (3)

Del dangaus kuno poveikio keiciantis Zemes sunkio potencialui vyksta sunkio lauko ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija. Ekvipotencialinio pavirsiaus poslinkis vertikales kryptimi isreiskiamas formule

[[zeta].sup.T] = 1/g [V.sub.T], (4)

cia g--sunkis. Irase potvynio potencialo reiksme gauname:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5)

cia

[[zeta].sup.T.sub.n] = Gm/gr[(R/r).sup.n] [P.sub.n](cos z).

Atsizvelgdami i dangaus kunu poveikio kitiems sunkio lauko elementams vertinima (Petroskevicius, Popovas 2008), ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijai nustatyti apsiribosime trimis potvynio potencialo eilutes nariais:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (6)

3. Pagrindines ekvipotencialinio pavirsiaus bangos

Norint nuodugniai istirti pavieniu potvynio potencialo nariu poveiki, tikslinga horizontine koordinaciu sistema pakeisti pusiaujine. Galima remtis sferiniu funkciju sumos teorema (Bursa, Kostelecky 1999; KopH r., KopH [GAMMA]. 1970):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (7)

cia [PHI]--punkto geocentrine platuma; [delta]--dangaus kuno deklinacija; t--dangaus kuno valandinis kampas vietos dienovidinio atzvilgiu; [P.sup.k.sub.n](sin [PHI]), [P.sup.k.sub.n](sin [delta])--prijungtines Lezandro funkcijos (KopH [GAMMA]., KopH T. 1970):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (8)

[P.sup.0.sub.n](x) = [P.sub.n](x). (9)

Pirmieji Lezandro daugianariai ir prijungtines Lezandro funkcijos, kai x = sin [PHI], isreiskiami formulemis ([TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] et al. 1981):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII], (10)

(KopH [GAMMA]., kopH T. 1970; [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]; [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] et al. 1981):

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (11)

Tuomet absoliuciai tvirtos Zemes potvynio potenciala galima isreiksti formule:

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (12)

Remdamiesi potencialo eilute (9), kai n = 2 galime parasyti ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos formule:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (13)

Analogiskai, kai n = 3 gauname:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (14)

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (15)

Galima pastebeti, kad parasytu lygybiu (13-15) pirmieji nariai nepriklauso nuo dangaus kuno valandinio kampo ir yra ilgo periodo bangos, priklausancios nuo vietos platumos ir dangaus kuno deklinacijos. Tai zonines bangos. Kitu n bangu periodas keiciasi nuo paros iki paros n dalies. Tai teseralines ir sektorines bangos.

Antroje zonineje bangoje galima isskirti nuolatines ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijas, priklausancias tik nuo platumos. Tam tikslui galima parasyti:

sin [delta] = sin [epsilon] sin [lambda],

cia [epsilon]--kampas tarp dangaus pusiaujo ir dangaus kuno orbitos plokstumu; [lambda]--dangaus kuno ilguma. Tuomet, keiciantis dangaus kuno ilgumai nuo 0 iki 2[pi] funkcijos f([delta])= 3 [sin.sup.2] [delta] - 1 vidutine integraline reiksme bus:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII],

ir pastoviaja antrosios zonines bangos dali galima isreiksti formule

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (16)

4. Realios Zemes deformacijos

Realios Zemes potencialo papildomi pakitimai atsiranda del Zemes deformacijos ir Zemes pavirsiaus persislinkimo geocentrinio spindulio kryptimi, kuriuos lemia potvyniai. Sie pakitimai isreiskiami Love skaiciais (Bursa, Kostelecky 1999), todel realios Zemes potvynio potencialas nustatomas pagal formule

V = Gm/r [[infinity].summation over (n=2)][[gamma].sub.n][(R/r).sup.n][P.sub.n](cosz), (17)

cia [[gamma].sub.n] = 1 + [k.sub.n] - [h.sub.n]--Zemes tampruma ivertinantys koeficientai, [k.sub.n] ir [h.sub.n]--Love skaiciai.

Atitinkamai del sunkio lauko ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu gauname:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (18)

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija nedeformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu galima nustatyti pagal formule

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (19)

Del dangaus kuno poveikio atsirandancia Zemes pavirsiaus deformacija isreiks formule

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. (20)

5. Menulio ir Saules itakos sunkio lauko ekvipotencialiniam pavirsiui ivertinimas

Taikydami pateiktuosius algoritmus ivertinsime Menulio ir Saules itaka realios Zemes ekvipotencialiniam pavirsiui. Parenkame tokias Love skaiciu reiksmes: [h.sub.2] = 0,6053, [h.sub.3] = 0,2890, [h.sub.4] = 0,175 81, [k.sub.2] = 0,2993, [k.sub.3] = 0,0925, [k.sub.4] = 0,0417 (Bursa, Kostelecky 1999).

Tyrimuose taikytos tokios kitu parametru reiksmes: [Gm.sub.M] = 4902,799 00 [m.sup.3][s.sup.-2], [r.sub.M] = 356 400 km, [Gm.sub.S] = 132 712 440 018 [m.sup.3][s.sup.-2], [r.sub.S] = 147 098 074 km, R = 6363,893 00 km, g = 981 507 mGal.

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos, isreiskiamos formulemis (6,18-20), priklausomai nuo zenitinio nuotolio reiksmes, kai n = 2, parodytos 1 bei 2 paveiksluose (paryskintos linijos grafikuose rodo deformacijas Lietuvos teritorijoje). Palyginti pateikiamos ir Zemes pavirsiaus deformacijos.

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos nedeformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu kitimo del Menulio poveikio diapazonas--0,874 8 m, del Saules--0,336 8 m. Lietuvos teritorijoje sie pakitimai mazesni, atitinkamai 0,714 8 m ir 0,250 2 m. Gi Zemes pavirsiaus deformacijos kitimo del Menulio poveikio diapazonas 0,407 6 m, del Saules--0,156 9 m. Lietuvoje sie dydziai atitinkamai 0,333 0 m ir 0,116 6 m. Ekvipotencialinio pavirsiaus deformaciju deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu kitimo diapazonas del Menulio poveikio yra 0,467 7 m, del Saules --0,180 1 m. Lietuvoje deformaciju dydziai gali siekti 0,382 1 del Menulio poveikio ir 0,133 8 m.--del Saules.

[FIGURE 1 OMITTED]

[FIGURE 2 OMITTED]

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos, kuriai itakos turi formules (6) narys (n = 3) (3 pav.), kitimo nedeformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu del Menulio poveikio diapazonas yra 17,5 mm, del Saules--0,02 mm. Zemes pavirsiaus deformacijos kitimo del Menulio poveikio diapazonas yra 4,6 mm, del Saules--0,004 mm. Ekvipotencialinio pavirsiaus deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu kitimo del Menulio poveikio diapazonas 12,9 mm, del Saules--0,01 mm.

Tyrimai rodo, kad del paskutiniojo nario (n = 4) itakos ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos (4 pav.) nedeformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu kitimo del Menulio poveikio diapazonas yra 0,21 mm. Zemes pavirsiaus deformacijos del Menulio poveikio kitimo diapazonas -0,004 mm. Ekvipotencialinio pavirsiaus deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu kitimo del Menulio poveikio diapazonas--0,018 mm. Saules poveikis nezymus, ir visos nagrinejamos pavirsiu deformacijos del Saules poveikio nevirsija 0,000 02 mm.

[FIGURE 3 OMITTED]

[FIGURE 4 OMITTED]

[FIGURE 5 OMITTED]

Nagrinetose pavirsiu deformacijose iskaiciuota ir pastovioji deformaciju dalis. Norint isskirti pastoviaja deformacijos dali tikslinga taikyti (16) formule. Del Menulio ir Saules pastovios antrosios zonines bangos dalies poveikio absoliuciai tvirtai Zemei ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija pagal platuma parodyta 5 paveiksle. Laikoma, kad ' [epsilon] = 23[degrees]27.

Tyrimai rodo, kad del antrosios zonines bangos poveikio Zemes sunkio lauko ekvipotencialinio pavirsiaus paplokstumas padideja. Poliuose ekvipotencialinis pavirsius pazemeja 0,2359 m, pusiaujyje pakyla 0,117 97 m. Lietuvos pietineje dalyje si deformacija -0,1110 m o siaureje---0,1268 m. I sias deformacijas reiketu atsizvelgti atliekant tiksliuosius geodezinius ir gravimetrinius matavimus bei Zemes formos ir gravitacijos lauko tyrimus.

6. Isvados

1. Taikant potvynio potenciala sudaryti algoritmai Zemes sunkio lauko ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijoms nustatyti. Atsizvelgiant i didejanti geodeziniu matavimu tiksluma, nagrinejamu potvynio potencialo nariu skaicius padidintas iki triju. Horizontine koordinaciu sistema pakeitus pusiaujine, ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos pateikiamos kaip zonines, teseralines ir sektorines bangos, tad yra galimybe atlikti nuodugnius skirtingu bangu tyrimus bei ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijose isskirti pastovias zoniniu bangu dalis, priklausancias tik nuo platumos. Tai atveria naujas galimybes ivertinant pagrindinio ekvipotencialinio pavirsiaus--geoido deformacijas, kurios svarbios sprendziant auksciu bei Zemes formos nustatymo problemas geodezijoje.

2. Pasirinkus Zemes tampruma ivertinancius Love skaicius galima nustatyti ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijas nedeformuoto ir deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu. Taigi atsiranda galimybe ivertinti ir Zemes pavirsiaus deformacijas.

3. Ivertinta Menulio ir Saules itaka realios Zemes ekvipotencialiniam pavirsiui. Nustatytos galimos pavirsiaus deformacijos Lietuvos teritorijoje. Ekvipotencialinis pavirsius deformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu del Menulio poveikio gali kisti nuo -0,155 8 m iki 0,318 4 m, del Saules poveikio--nuo -0,060 0 m iki 0,120 0 m. Lietuvos teritorijoje sie pokyciai del Menulio poveikio atitinkamai nuo -0,155 8 m iki 0,223 1 m, del Saules poveikio--nuo -0,060 0 m iki 0,073 7 m.

Ekvipotencialinio pavirsiaus deformacija nedeformuoto Zemes pavirsiaus atzvilgiu del Menulio poveikio gali kisti nuo -0,291 6 m iki 0,592 1 m, del Saules--nuo -0,112 3 m iki 0,224 5 m. Lietuvoje sie pokyciai del Menulio yra atitinkamai nuo 0,291 6 m iki 0,418 9 m, del Saules poveikio --nuo -0,112 3 m iki 0,137 9 m.

Zemes pavirsius del Menulio poveikio gali deformuotis nuo -0,135 8 m iki 0,274 1 m, del Saules poveikio--nuo 0,052 3 m iki 0,104 6 m. Lietuvoje sie dydziai yra nuo -0,135 8 m iki 0,196 0 m del Menulio poveikio, ir nuo -0,052 3 m iki 0,064 3 m del Saules. Ivertintas pavieniu potvynio potencialo nariu poveikis.

4. Nustatytos ekvipotencialinio pavirsiaus deformacijos del antrosios zonines bangos poveikio. Poliuose sis pokytis yra -0,235 9 m, pusiaujyje -0,117 97 m. Lietuvos teritorijoje siu deformaciju pokytis yra 0,015 9 m. I sias deformacijas reiketu atsizvelgti atliekant tiksliuosius geodezinius ir gravimetrinius matavimus

5. Atlikto darbo rezultatai gali buti panaudoti vertinant dangaus kunu poveiki geodeziniuose matavimuose bei vertinimo metodikai tobulinti.

doi: 10.3846/gc.2010.15

Literatura

Agnew, D. C. 2007. Earth tides, Treatise on Geophysics 3(06): 163-195.

Birvydiene, R.; Obuchovski, R.; Parseliunas, E.; Petroskevicius, P.; Slikas, D.; Viskontas, P. 2009. Lietuvos gravimetrinio tinklo charakteristikos, Geodesy and Cartography [Geodezija ir kartografija] 35(4): 131-136. doi:10.3846/13921541.2009.35.131-136

Bursa, M.; Kostelecky, J. 1999. Space Geodesy and Space Geodynamics. Prague. 459 p.

Hirth, C.; Burki, B.; Guillaume, S., et al. 2010. Digital zenith cameras --state-of-the-art astrogeodetic technology for Australian geodesy, in FIG congress. Sydney, Australia 11-16 April.

Ihde, J. ; Baker, T. F. ; Bruyninx, C., et al. 2006. Status of the European Combined Geodetic Network (ECGN), Mitteilun-gen des Bundesamtes fur Kartographie und Geodasie. Band 38. EUREF publication 15: 198-204. ISSN 1436-3445.

Makinen, J.; Lilje, M.; Agren, J., et al. 2006. Regional Adjustment of Precise Levellings around the Baltic, Mitteilungen des Bundesamtes fur Kartographie und Geodasie. Band 38. EUREF publication 15: 171-183. ISSN 1436-3445.

Petroskevicius, P. 2004. Gravitacijos lauko poveikis geodeziniams matavimams. Vilnius: Technika. 290 p.

Petroskevicius, P.; Popovas, D. 2008. Dangaus kunu poveikio sunkio laukui ivertinimas, Geodesy and Cartography [Geodezija ir kartografija] 34(1): 19-22. doi:10.3846/1392-1541.2008.34.19-22

Skeivalas, J. 2008. GPS tinklu teorija ir praktika [Theory and practice of GPS networks]. Vilnius: Technika. 288 p. ISBN 978-9955-28-228-0.

Torge, W 1989. Gravimetry. Berlin, New York: de Gruyter. 465 p.

Zakarevicius, A.; Aksamitauskas, V. C.; Stanionis, A.; Levinskaite, D. 2009. Erdviniu Zemes plutos judesiu apibendrintuju charakteristiku nustatymas pagal GPS matavimu duomenis, Geodesy and Cartography [Geodezija ir kartografija] 35(4): 126-130. doi:10.3846/1392-1541.2009.35.126-130

Zakarevicius, A.; Parseliunas, E.; Sliaupa, S.; Stanionis, A.; Stephenson, R. 2008a. Horizontal deformations of the Earth's crust in the Baltic region from GPS data, in The 7th International Conference "Environmental Engineering": Selected papers, vol. 3. Ed. by D. Cygas, K. D. Froehner. May 22-23, 2008, Vilnius, Lithuania. Vilnius: Technika, 1503-1507.

Zakarevicius, A.; Sliaupa, A.; Anikeniene, A.; Denas, Z.; Sliaupiene, R. 2008. A model of recent vertical movements of the earth's surface in Lithuania: integration of geodetic levelling data and geological parameters, Geologija [Geology] 4(64): 254-263. doi:10.2478/v10056-008-0051-0

[TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. [Bronshtein, I. N.; Semendiajev, K. A., et al. Mathematical handbook for scientists and engineers]. Mockba: Hayka. 718 c.

KopH, [GAMMA]; KopH, T. 1970. [TEXT NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]. [Korn, G.; Korn, T. Mathematical handbook for scientists and engineers]. MOCKBa: HayKa. 720 c.

Petras Petroskevicius (1), Darius Popovas (2)

Geodezijos ir kadastro katedra, Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva El. pastas: (1) petras.petroskevicius@ap.vgtu.lt; (2) darius.popovas@vgtu.lt

Iteikta 2010 05 18; priimta 2010 06 29

Petras PETROSKEVICIUS. Prof., Doctor Habil. Vilnius Gediminas Technical University. Dept of Geodesy and Cadastre, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania. Ph +370 5 2744 703, Fax +370 5 2744 705, e-mail: petras.petroskevicius@vgtu.lt

Author of 1 monograph and more than 100 scientific publications. Participated in many intern conferences.

Research interests: determination of Earth satellites orbits, research of Earth gravity field by means of satellite geodesy and gravimetric methods, establishment of geodetic and gravimetric networks.

Darius POPOVAS. MSc, PhD student. Dept of Geodesy and Cadastre. Vilnius Gediminas Technical University, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania. Ph +370 5 2744 703, Fax +370 5 2744 705, e-mail: darius@geobiuras.lt

Research interests: GNSS; Earth gravity field.