摘要：Con el objetivo de obtener estimaciones de errores ’a posteriori’ y mejorar la
aproximación de las soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales de Black-Scholes-Merton (BSM, ecuaciones del tipo de
difusión), se estudian métodos de extrapolación y de mallas mixtas para el
problema de valuación de opciones Asiáticas de compra y venta de activos
financieros. Estos derivados, que se negocian entre partes fuera de mercados
estándar, resultan ser de una gran variedad de tipos que se definen en
detalle en el artículo y su valor está asociado con el cálculo de
promedios de los precios del activo subyacente durante la vida de la opción,
lo que las hace pertenecer a la clase de opciones dependientes del camino, de
lo que resulta, en principio, el crecimiento de la complejidad computacional
en las aproximaciones numéricas. En el caso usual de realizar promedios
aritméticos solo existen en la literatura expresiones aproximadas para
valuarlos, raz´on por la cual las estimaciones numéricas utilizando el
denominado modelo trinomial (equivalente al método de diferencias finitas
explícitas aplicado a la ecuación de BSM correspondiente) son una alternativa
razonable siempre que (1) se puedan estimar los errores de aproximación, (2)
se puedan mejorar las soluciones aproximadas para lograr una valuación
ajustada, y (3) se puedan diseñar algoritmos de construcción de esta solución
aproximada con una complejidad computacional manejable. Los tres puntos
mencionados se tratan y resuelven en detalle en el presente trabajo y se
desarrollan métodos que se extienden, con las modificaciones necesarias, a
otros tipos de opciones dependientes del camino. Se efectúan asimismo
comparaciones con las soluciones aproximadas al problema de las que se
explica su derivación y que se obtienen de la literatura. Para la obtención
de resultados respecto de los puntos (1) y (2) se utilizan mallas trinomiales
y refinamientos de las mismas con conjuntos coincidentes de nodos en los
cuales se realizan promedios con los pesos adaptados al orden numérico del
algoritmo base. El ajuste de estas mallas mixtas de manera de respetar las
propiedades de evolución del valor del activo y su volatilidad es uno de los
aspectos delicados del método lo que es tratado en el trabajo con el fin de
optimizar el algoritmo propuesto. En lo que respecta al punto (3) se utiliza
un sistema de interpolación y cálculo de promedios que
reduce considerablemente varias de las fuentes de complejidad. Asimismo se
puede establecer una estrategia de recorrido de los nodos que conduce a
reducir el restante factor generador de complejidad numérica.
